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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme den Winkel θ zwischen den Vektoren a = (−3, −2, −4) und b = (0, 6, −4) in Grad.
a = (−3, −2, −4)b = (0, 6, −4)
θ = °
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Bestimme das Volumen V des Spats (Parallelepipeds), dessen Kanten von einer Ecke aus a = (−5, 3, −1), b = (2, 4, 3) und c = (4, 2, −3) sind.
a = (−5, 3, −1)b = (2, 4, 3)c = (4, 2, −3)
V =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
L = 10 mP1 = 10 kN bei 4 mP2 = 15 kN bei 6 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine linear veränderliche Last, die an der Wand 20 kN/m beträgt und bis zum freien Ende B auf null abfällt, sowie eine Einzellast P im Abstand 3 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.
L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 30 kN bei 3 m
MA = kN·m
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 4 mB liegt 5 m von A entferntvertikale Last = 25 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 5 m von A entferntvertikale Last = 10 kNhorizontale Last = 15 kN ←
FAB = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Im gezeigten Kniehebelspanner sind zwei gleich lange Lenker AB und BC in B gelenkig verbunden, und jeder bildet 5° mit der Linie AC. In B wirkt eine nach unten gerichtete Kraft von 300 N. Der Schieber C drückt auf ein Werkstück. Bestimme ohne Reibung und Gewichte die horizontale Klemmkraft Q.
F = 300 Nθ = 5°
Q = N
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Ein gleichmäßiger horizontaler Ausleger AB mit dem Gewicht 1 kN ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von einem Seil gehalten, das von seinem Ende B zum Punkt C an der Wand, 3 m über A, führt. In B hängt eine Last von 2 kN. Bestimme die Seilkraft T.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 3 m
T = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1,5 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 5,5 mP1 = 50 kN bei 2 mP2 = 55 kN bei 5,5 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment Mmax im Balken.
L = 5 mP = 80 kN bei 1,5 mw = 4 kN/m von 0 bis 5 m
Mmax = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Eine Platte von 150 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 105 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Eine Platte von 120 mm × 240 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 50 mm Breite und 40 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 72 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 120 mmh = 240 mmAusschnitt: 50 × 40 mmLochmittelpunkt: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Lösungen
1.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: θ = 84,09 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = (−3)·0 + (−2)·6 + (−4)·(−4) = 4
Beträge
|a| = √((−3)² + (−2)² + (−4)²) = 5,385
|b| = √(0² + 6² + (−4)²) = 7,211
Winkel
cos θ = 4/(5,385·7,211) = 0,103
θ = arccos(0,103) = 84,09°
Antwort
θ = 84,09°
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: V = 156
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kreuzprodukt b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 4·(−3) − 3·2 = −18
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·4 − 2·(−3) = 18
(b × c)z = bxcy − bycx = 2·2 − 4·4 = −12
Skalarprodukt mit a
a·(b × c) = (−5)·(−18) + 3·18 + (−1)·(−12) = 156
V = |156| = 156
Antwort
V = 156
3.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RA = 12 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·10 = 10·4 + 15·6
RB = 130/10 = 13 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 13 = 12 kN
Antwort
RA = 12 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: MA = 210 kN·m
Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.
Resultierende der Dreieckslast
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Moment um die Wand
MA = W·x̄ + P·a = 60·2 + 30·3 = 210 kN·m
Antwort
MA = 210 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAC = 5,208 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 → Cy = 20,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20,83 = 4,167 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 − 15·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,3714 = −17,95 kN
Antwort
FAB = −17,95 kN (Druck)
7.Rahmen und Maschinen
Antwort: Q = 1715 N
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Gleichgewicht am Gelenk B
2·Flink·sin 5° = 300
Flink = 1721 N
Klemmkraft
Q = Flink·cos 5° = 300/(2·tan 5°) = 1715 N
Antwort
Q = 1715 N
Das Kraftverhältnis Q/F = 5,715 wächst unbegrenzt, wenn sich die Lenker strecken.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: T = 3,005 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Seilwinkel
BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321
Momente um A
T·0,8321·2 = 2·2 + 1·1
T = 3,005 kN
Antwort
T = 3,005 kN
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 8,75 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 55·5,5
RB = 402,5/4 = 100,6 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 100,6 = 4,375 kN
Schnitt unter P1, linken Teil behalten
Mx = RA·2 = 4,375·2 = 8,75 kN·m
Antwort
Mx = 8,75 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mmax = 94,5 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 80·1,5 + 4·5·2,5
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 34 = 66 kN
Wo ist V = 0?
V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 60 kN
V(1,5⁺) = 60 − 80 = −20 kN
Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72,13 mm
Volle Platte um ȳ
150·150³/12 + 22500·2,868² = 42,37 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
π·50⁴/64 + 1963·32,87² = 2,428 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 39,94 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 39,94 × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (28800·120 − 2000·72)/(28800 − 2000) = 123,6 mm