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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme den Winkel θ zwischen den Vektoren a = (4, 1, 3) und b = (5, 6, −5) in Grad.
a = (4, 1, 3)b = (5, 6, −5)
θ = °
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Bestimme die Fläche A des Dreiecks mit den Eckpunkten A(−2, 3, 1), B(−1, 4, −4) und C(−1, −2, −1). Die Koordinaten sind in Metern angegeben.
A(−2, 3, 1)B(−1, 4, −4)C(−1, −2, −1)
A = m²
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
L = 6 mP1 = 55 kN bei 1,5 mP2 = 35 kN bei 4 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 2 m von A entfernt an, unter 45° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 3,5 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.
L = 5 mP = 80 kN bei 2 m, θ = 45°Q = 80 kN bei 3,5 m
RA = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.
D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓
1Stab AB
2Stab BC
3Stab CD
4Stab DE
5Stab FG
6Stab GH
7Stab AF
8Stab HE
9Stab BF
10Stab CG
11Stab DH
12Stab BG
13Stab DG
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.
Der gezeigte Winkelhebel dreht sich um das Gelenk O. Eine vertikale Kraft von 100 N in A (200 mm von O entfernt) wird durch eine horizontale Kraft in B (150 mm über O) im Gleichgewicht gehalten. Bestimme den Betrag der Gelenkreaktion FO.
F = 100 NOA = 200 mmOB = 150 mm
FO = N
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Ein gleichmäßiger horizontaler Ausleger AB mit dem Gewicht 1 kN ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von einem Seil gehalten, das von B zum Punkt C an der Wand, 2 m über A, führt. In B hängt eine Last von 2 kN. Bestimme den Betrag der Gelenkreaktion A.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 3 mAC = 2 m
A = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
25 kN @ 6 m12 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
50 kN @ 0 m45 kN @ 12 m55 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Eine Platte von 100 mm × 240 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 168 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Eine Platte von 100 mm × 300 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 30 mm Breite und 20 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 100 mmh = 300 mmAusschnitt: 30 × 20 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Lösungen
1.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: θ = 76,55 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = 4·5 + 1·6 + 3·(−5) = 11
Beträge
|a| = √(4² + 1² + 3²) = 5,099
|b| = √(5² + 6² + (−5)²) = 9,274
Winkel
cos θ = 11/(5,099·9,274) = 0,2326
θ = arccos(0,2326) = 76,55°
Antwort
θ = 76,55°
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: A = 13,91 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 35·4
RB = 222,5/6 = 37,08 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 37,08 = 52,92 kN
Antwort
RA = 52,92 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RA = 80,98 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Komponenten von P
Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN
Auflagerkräfte
ΣMA = 0: RB·5 = 56,57·2 + 80·3,5 → RB = 78,63 kN
Ay = 56,57 + 80 − 78,63 = 57,94 kN
Ax = Ph = 56,57 kN
Resultierende in A
RA = √(56,57² + 57,94²) = 80,98 kN
Antwort
RA = 80,98 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: Stab CG
Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.
Knoten C
BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen
Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).
Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.
Knoten D
CD und DE liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur DH übrig.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen
Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Kraft in B
Q = 100·200/150 = 133,3 N
Gelenkreaktion
Ox = 133,3 N, Oy = 100 N
FO = √(133,3² + 100²) = 166,7 N
Antwort
FO = 166,7 N
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: A = 3,783 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Seilkraft
T = (2 + 1/2)/0,5547 = 4,507 kN
Komponenten in A
Ax = T·cos β = 3,75 kN
Ay = 2 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Betrag
A = √(3,75² + 0,5²) = 3,783 kN
Antwort
A = 3,783 kN
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: D (x = 6 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Auflagerkräfte
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
R1 = 76,5 kN, R2 = 44,5 kN
Biegemoment an jeder Markierung
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
MA = 0, MB = 129, MC = 210, MD = 243 kN·m, ME = 178, MF = 89, MG = 0
Antwort
Markierung D: MD = 243 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: E (x = 8 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Auflagerkräfte
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
R1 = 73,33 kN, R2 = 76,67 kN
Biegemoment an jeder Markierung
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
MA = 0, MB = −100, MC = −53,33, MD = −116,7, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
Antwort
Markierung E: ME = −180 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 112 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (24000·120 − 1257·168)/(24000 − 1257) = 117,3 mm
Volle Platte um ȳ
100·240³/12 + 24000·2,652² = 115,4 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
π·40⁴/64 + 1257·50,65² = 3,35 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 112 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 112 × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.