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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme die skalare Projektion compb a von a = (−5, −5, −6) auf b = (−4, 2, −6), also die Komponente von a in Richtung von b.
a = (−5, −5, −6)b = (−4, 2, −6)
compb a =
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Der Einheitsvektor n̂ steht senkrecht auf a = (1, −2, 0) und b = (2, −3, −1) und hat eine positive z-Komponente. Bestimme seine x-Komponente n̂x.
a = (1, −2, 0)b = (2, −3, −1)n̂z > 0
n̂x =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 5 mP1 = 20 kN bei 2 mP2 = 15 kN bei 3 m
RB = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
L = 5 mP = 60 kN bei 2,5 mw = 6 kN/m von 3 bis 5 m
RA = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 3 mB liegt 6 m von A entferntvertikale Last = 50 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 2 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 45 kNhorizontale Last = 25 kN →
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Ein horizontaler Balken AB ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von der Strebe CD abgestützt, die in C, 0,75 m unter A, gelenkig an der Wand befestigt ist. In B hängt eine Last von 8 kN. Vernachlässige die Gewichte. Bestimme den Betrag der Gelenkkraft A auf den Balken in A.
P = 8 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Der gezeigte A-Rahmen steht auf einem Festlager in A und einem Loslager in B, 4,8 m voneinander entfernt, mit dem Scheitelgelenk C in 2 m Höhe und der horizontalen Zugstange DE 0,8 m über dem Boden. Auf den Schenkel AC wirkt in K, 1,44 m (horizontal) von A entfernt, eine vertikale Last von 6 kN. Bestimme den Betrag der Kraft C, die das Gelenk C auf den Schenkel BC ausübt.
P = 6 kNAB = 4,8 mHöhe von C = 2 mHöhe von DE = 0,8 mhorizontaler Abstand von A zu K = 1,44 m
C = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1,5 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 7,5 mP1 = 25 kN bei 2,5 mP2 = 30 kN bei 7,5 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 6 mP = 50 kN bei 2,5 mw = 4 kN/m von 0 bis 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.
bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 50 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = (−5)·(−4) + (−5)·2 + (−6)·(−6) = 46
Länge von b
|b| = √((−4)² + 2² + (−6)²) = 7,483
Skalare Projektion
compb a = a·b/|b| = 46/7,483 = 6,147
Antwort
compb a = 6,147
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: n̂x = 0,8165
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kreuzprodukt
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·(−1) − 0·(−3) = 2
(a × b)y = azbx − axbz = 0·2 − 1·(−1) = 1
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−3) − (−2)·2 = 1
Normieren
Die z-Komponente von a × b ist bereits positiv.
|a × b| = √(2² + 1² + 1²) = 2,449
n̂ = (2, 1, 1)/2,449 = (0,8165, 0,4082, 0,4082)
n̂x = 0,8165
Antwort
n̂x = 0,8165
3.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 17 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2 + 15·3
RB = 85/5 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 17 = 18 kN
Antwort
RB = 17 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RA = 32,4 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2,5 + 6·2·4
RB = 198/5 = 39,6 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 39,6 = 32,4 kN
Antwort
RA = 32,4 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAB = −27,95 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 3/6,708 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12,5/0,4472 = −27,95 kN
Antwort
FAB = −27,95 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FBC = −52,33 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 + 25·2 → Cy = 37 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 37 = 8 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Strebenkraft
FCD = 8·4/(0,3511·2) = 45,57 kN
Komponenten in A
Ax = FCD·cos α = 42,67 kN (zur Wand hin)
Ay = 8 − FCD·sin α = −8 kN
Betrag
A = √(42,67² + −8²) = 43,41 kN
Antwort
A = 43,41 kN
Ein negatives Ay bedeutet, dass die Wand den Balken in A nach unten zieht.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: C = 4,025 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Auflagerkraft in B
By = 6·1,44/4,8 = 1,8 kN
Zugstangenkraft
T = 1,8·2,4/1,2 = 3,6 kN
Gelenkkraft auf BC
Cx = 3,6 kN, Cy = −1,8 kN
C = √(3,6² + 1,8²) = 4,025 kN
Antwort
C = 4,025 kN
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 17,71 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2,5 + 30·7,5
RB = 287,5/6 = 47,92 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 47,92 = 7,083 kN
Schnitt unter P1, linken Teil behalten
Mx = RA·2,5 = 7,083·2,5 = 17,71 kN·m
Antwort
Mx = 17,71 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 57,67 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2,5 + 4·6·3
RB = 197/6 = 32,83 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 32,83 = 41,17 kN
Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 41,17·4 − 50·(4 − 2,5) − 4·4·2 = 57,67 kN·m
Antwort
Mx = 57,67 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 16,86 × 10⁶ mm⁴
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152,5 mm