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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme das Skalarprodukt a·b von a = (−6, 2, 2) und b = (−2, −3, 0).
a = (−6, 2, 2)b = (−2, −3, 0)
a·b =
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Der Einheitsvektor n̂ steht senkrecht auf a = (−1, 5, 2) und b = (−4, 1, 3) und hat eine positive z-Komponente. Bestimme seine x-Komponente n̂x.
a = (−1, 5, 2)b = (−4, 1, 3)n̂z > 0
n̂x =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 2 m von A und ein eingeprägtes Moment M (gegen den Uhrzeigersinn) im Abstand 1 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.
L = 8 mP = 65 kN bei 2 mM = 15 kN·m (gegen den Uhrzeigersinn) bei 1 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 4,5 m von A entfernt an, unter 30° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 2 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.
L = 5 mP = 35 kN bei 4,5 m, θ = 30°Q = 15 kN bei 2 m
RA = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 3 mB liegt 4 m von A entferntvertikale Last = 35 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 4 mHöhe = 3 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 20 kNhorizontale Last = 15 kN ←
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Im gezeigten Kniehebelspanner sind zwei gleich lange Lenker AB und BC in B gelenkig verbunden, und jeder bildet 20° mit der Linie AC. In B wirkt eine nach unten gerichtete Kraft von 200 N. Der Schieber C drückt auf ein Werkstück. Bestimme ohne Reibung und Gewichte die horizontale Klemmkraft Q.
F = 200 Nθ = 20°
Q = N
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Eine Kniehebelpresse hat zwei gleich lange Lenker AB und BC, jeder 200 mm lang zwischen den Gelenken. Das Gelenk B liegt 8 mm über der Linie AC. Welche nach unten gerichtete Kraft F in B erzeugt eine horizontale Presskraft von 1000 N am Schieber C? Vernachlässige Reibung und Gewichte.
Q = 1000 NAB = BC = 200 mmh = 8 mm
F = N
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Einfeldträger trägt bei x = 2 m von A ein Moment M0 = 15 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment Mx unmittelbar links vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 6 mM0 = 15 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 2 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
50 kN @ 0 m20 kN @ 6 m45 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 300 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 120 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.
b = 300 mmh = 120 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 30 MPa auf Zug und 150 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment Mallow, das der Träger aufnehmen kann.
Skalarprodukt:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, ein Skalar. Es liefert den Winkel zwischen zwei Vektoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), und ist null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Die skalare Projektion von a auf b ist a·b/|b|, und eine konstante Kraft F, deren Angriffspunkt sich um d verschiebt, verrichtet die Arbeit W = F·d.
Entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren
Positiv: Der Winkel zwischen den Vektoren ist kleiner als 90°.
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: n̂x = 0,5518
Kreuzprodukt:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) steht senkrecht auf beiden Vektoren, und |a × b| = |a|·|b|·sin θ ist die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms (das Dreieck hat die Hälfte davon). Die Reihenfolge ist wichtig: b × a = −(a × b). Das Moment einer im Punkt A angreifenden Kraft F bezüglich des Punktes O ist MO = r × F mit r = A − O.
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Momente um A
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: RB·8 − 65·2 + 15 = 0
RB = 115/8 = 14,38 kN
Vertikales Gleichgewicht
RA = 65 − 14,38 = 50,63 kN
Antwort
RA = 50,63 kN
Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RA = 32,16 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Komponenten von P
Pv = 35·sin 30° = 17,5 kN
Ph = 35·cos 30° = 30,31 kN
Auflagerkräfte
ΣMA = 0: RB·5 = 17,5·4,5 + 15·2 → RB = 21,75 kN
Ay = 17,5 + 15 − 21,75 = 10,75 kN
Ax = Ph = 30,31 kN
Resultierende in A
RA = √(30,31² + 10,75²) = 32,16 kN
Antwort
RA = 32,16 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAB = −19,44 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 → Cy = 23,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 23,33 = 11,67 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11,67/0,6 = −19,44 kN
Antwort
FAB = −19,44 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FBC = −3,953 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 − 15·3 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 3,75 = 16,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Gleichgewicht am Gelenk B
2·Flink·sin 20° = 200
Flink = 292,4 N
Klemmkraft
Q = Flink·cos 20° = 200/(2·tan 20°) = 274,7 N
Antwort
Q = 274,7 N
Das Kraftverhältnis Q/F = 1,374 wächst unbegrenzt, wenn sich die Lenker strecken.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: F = 80,06 N
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Lenkerwinkel
sin θ = 8/200 = 0,04, θ = 2,292°
Lenkerkraft
Flink = Q/cos θ = 1001 N
Kraft in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 80,06 N
Antwort
F = 80,06 N
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = −5 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.
Auflagerkräfte
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: RB·L − M0 = 0. Vertikales Gleichgewicht: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 15/6 = 2,5 kN (nach oben)
RA = −RB = −2,5 kN (nach unten)
Schnitt unmittelbar links vom eingeprägten Moment
Der linke Teil enthält nur RA.
Mx = RA·a = −2,5·2 = −5 kN·m
Antwort
Mx = −5 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: B (x = 1 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Auflagerkräfte
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
R1 = 68,75 kN, R2 = 46,25 kN
Biegemoment an jeder Markierung
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −31,25, MD = −12,5, ME = 6,25, MF = −20, MG = 0
Antwort
Markierung B: MB = −50 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: ȳ = 30,38 mm
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In Rechtecke aufteilen
Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.
Grundlage: A1 = 300·10 = 3000 mm², y1 = 5 mm
zwei Schenkel: A2 = 2·10·110 = 2200 mm², y2 = 10 + 110/2 = 65 mm
Schwerpunkt
ȳ = (3000·5 + 2200·65)/5200 = 30,38 mm
Antwort
ȳ = 30,38 mm
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Mallow = 7,71 kN·m
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.