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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Eine konstante Kraft F = (15, 5, 10) N wirkt auf einen Körper, während er sich geradlinig von Punkt A(−5, 5, 4) nach Punkt B(−3, 1, −3) bewegt. Die Koordinaten sind in Metern angegeben. Bestimme die von der Kraft verrichtete Arbeit W.
F = (15, 5, 10) NA(−5, 5, 4) mB(−3, 1, −3) m
W = J
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Bestimme für a = (6, −5, 5) und b = (4, 6, 5) die z-Komponente (a × b)z des Kreuzprodukts a × b.
a = (6, −5, 5)b = (4, 6, 5)
(a × b)z =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 4 mP1 = 40 kN bei 1,5 mP2 = 15 kN bei 2,5 m
RB = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 5 mP = 30 kN bei 2 mw = 12 kN/m von 3 bis 5 m
RB = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.
B: 25 kN ↓C: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
1Stab AB
2Stab BC
3Stab CD
4Stab DE
5Stab FG
6Stab GH
7Stab AF
8Stab HE
9Stab BF
10Stab CG
11Stab DH
12Stab FC
13Stab HC
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 3 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 60 kNhorizontale Last = 20 kN →
FAC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Im gezeigten Kniehebelspanner sind zwei gleich lange Lenker AB und BC in B gelenkig verbunden, und jeder bildet 5° mit der Linie AC. In B wirkt eine nach unten gerichtete Kraft von 200 N. Der Schieber C drückt auf ein Werkstück. Bestimme ohne Reibung und Gewichte die horizontale Klemmkraft Q.
F = 200 Nθ = 5°
Q = N
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Eine Kniehebelpresse hat zwei gleich lange Lenker AB und BC, jeder 80 mm lang zwischen den Gelenken. Das Gelenk B liegt 10 mm über der Linie AC. Welche nach unten gerichtete Kraft F in B erzeugt eine horizontale Presskraft von 1500 N am Schieber C? Vernachlässige Reibung und Gewichte.
Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 10 mm
F = N
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Einfeldträger trägt bei x = 1 m von A ein Moment M0 = 25 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment Mx unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 5 mM0 = 25 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 1 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
45 kN @ 0 m50 kN @ 12 m15 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.
bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Weg
d = B − A = (−3, 1, −3) − (−5, 5, 4) = (2, −4, −7) m
Arbeit
W = F·d = 15·2 + 5·(−4) + 10·(−7) = −60 J
Antwort
W = −60 J
Negative Arbeit: Die Kraft wirkt überwiegend entgegen der Bewegung.
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: (a × b)z = 56
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kreuzprodukt, Komponente für Komponente
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·5 − 5·6 = −55
(a × b)y = azbx − axbz = 5·4 − 6·5 = −10
(a × b)z = axby − aybx = 6·6 − (−5)·4 = 56
Gesuchte Komponente
(a × b)z = 56
Antwort
(a × b)z = 56
Kontrolle: a × b steht senkrecht auf beiden Vektoren, sein Skalarprodukt mit a und mit b ist also null.
3.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 24,38 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1,5 + 15·2,5
RB = 97,5/4 = 24,38 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 24,38 = 30,63 kN
Antwort
RB = 24,38 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 31,2 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2 + 12·2·4
RB = 156/5 = 31,2 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 31,2 = 22,8 kN
Antwort
RB = 31,2 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: Stab DH
Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.
Knoten D
CD und DE liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur DH übrig.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen
Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 + 20·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 30 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Gleichgewicht am Gelenk B
2·Flink·sin 5° = 200
Flink = 1147 N
Klemmkraft
Q = Flink·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N
Antwort
Q = 1143 N
Das Kraftverhältnis Q/F = 5,715 wächst unbegrenzt, wenn sich die Lenker strecken.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: F = 378 N
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Lenkerwinkel
sin θ = 10/80 = 0,125, θ = 7,181°
Lenkerkraft
Flink = Q/cos θ = 1512 N
Kraft in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 378 N
Antwort
F = 378 N
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 20 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.
Auflagerkräfte
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: RB·L − M0 = 0. Vertikales Gleichgewicht: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/5 = 5 kN (nach oben)
RA = −RB = −5 kN (nach unten)
Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment
Der linke Teil enthält jetzt RA und das eingeprägte Moment.
Mx = RA·a + M0 = −5·1 + 25 = 20 kN·m
Antwort
Mx = 20 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: F (x = 10 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Auflagerkräfte
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
R1 = 103,8 kN, R2 = 111,3 kN
Biegemoment an jeder Markierung
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
MA = 0, MB = −90, MC = −2,5, MD = 25, ME = −7,5, MF = −100 kN·m, MG = 0
Antwort
Markierung F: MF = −100 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 29,39 × 10⁶ mm⁴
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm