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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme den Winkel θ zwischen den Vektoren a = (−6, −4, −4) und b = (6, −6, −6) in Grad.
a = (−6, −4, −4)b = (6, −6, −6)
θ = °
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Bestimme die Fläche A des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1, −3, 2), B(1, 4, 3) und C(−3, 1, 3). Die Koordinaten sind in Metern angegeben.
A(1, −3, 2)B(1, 4, 3)C(−3, 1, 3)
A = m²
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 7 m von A und ein eingeprägtes Moment M (gegen den Uhrzeigersinn) im Abstand 5 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB, nach oben positiv.
L = 10 mP = 30 kN bei 7 mM = 50 kN·m (gegen den Uhrzeigersinn) bei 5 m
RB = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 2,5 m von A entfernt an, unter 45° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 0,5 m von A entfernt an. Bestimme den Winkel α zwischen der gesamten Auflagerkraft im Festlager A und der Horizontalen.
L = 5 mP = 55 kN bei 2,5 m, θ = 45°Q = 65 kN bei 0,5 m
α = °
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 3 mB liegt 4 m von A entferntvertikale Last = 20 kN
FBC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 2 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 10 kNhorizontale Last = 25 kN →
FAC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Ein horizontaler Balken AB ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von der Strebe CD abgestützt, die in C, 1 m unter A, gelenkig an der Wand befestigt ist. In B hängt eine Last von 5 kN. Vernachlässige die Gewichte. Bestimme den Betrag der Gelenkkraft A auf den Balken in A.
P = 5 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 1 m
A = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Der gezeigte A-Rahmen steht auf einem Festlager in A und einem Loslager in B, 3,2 m voneinander entfernt. Die Schenkel treffen sich im Gelenk C, 3,6 m hoch, und sind durch den horizontalen Stab DE in 1,2 m Höhe verbunden. In C wirkt eine horizontale Kraft von 15 kN nach rechts. Bestimme die Zugkraft T in der Zugstange.
P = 15 kNAB = 3,2 mHöhe von C = 3,6 mHöhe von DE = 1,2 m
T = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 6 mP1 = 80 kN bei 2,5 mP2 = 60 kN bei 6 mAuflager bei x = 0 und x = 5 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
10 kN @ 12 m45 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Eine Platte von 120 mm × 240 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 80 mm Breite und 40 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 156 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 120 mmh = 240 mmAusschnitt: 80 × 40 mmLochmittelpunkt: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Lösungen
1.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: θ = 81,95 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = (−6)·6 + (−4)·(−6) + (−4)·(−6) = 12
Beträge
|a| = √((−6)² + (−4)² + (−4)²) = 8,246
|b| = √(6² + (−6)² + (−6)²) = 10,39
Winkel
cos θ = 12/(8,246·10,39) = 0,14
θ = arccos(0,14) = 81,95°
Antwort
θ = 81,95°
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: A = 14,22 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kantenvektoren
AB = B − A = (0, 7, 1)
AC = C − A = (−4, 4, 1)
Kreuzprodukt
(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·1 − 1·4 = 3
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 1·(−4) − 0·1 = −4
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 0·4 − 7·(−4) = 28
|AB × AC| = √(3² + (−4)² + 28²) = 28,44
Fläche des Dreiecks
A = ½·28,44 = 14,22 m²
Antwort
A = 14,22 m²
3.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 16 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Momente um A
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: RB·10 − 30·7 + 50 = 0
RB = 160/10 = 16 kN
Vertikales Gleichgewicht
RA = 30 − 16 = 14 kN
Antwort
RB = 16 kN
Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: α = 63,48 °
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 + 25·2 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8,75 = 1,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Strebenkraft
FCD = 5·2,5/(0,5547·1,5) = 15,02 kN
Komponenten in A
Ax = FCD·cos α = 12,5 kN (zur Wand hin)
Ay = 5 − FCD·sin α = −3,333 kN
Betrag
A = √(12,5² + −3,333²) = 12,94 kN
Antwort
A = 12,94 kN
Ein negatives Ay bedeutet, dass die Wand den Balken in A nach unten zieht.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: T = 11,25 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Ganzer Rahmen: Momente um A
By·3,2 = 15·3,6
By = 16,88 kN
Schenkel BC: Momente um C
16,88·1,6 = T·2,4
T = 11,25 kN
Antwort
T = 11,25 kN
Ein positives T bedeutet, dass die Zugstange wie angenommen auf Zug beansprucht wird.
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 70 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.
ΣMA = 0: RB·5 = 80·2,5 + 60·6
RB = 560/5 = 112 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 112 = 28 kN
Schnitt unter P1, linken Teil behalten
Mx = RA·2,5 = 28·2,5 = 70 kN·m
Antwort
Mx = 70 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: C (x = 4 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Auflagerkräfte
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
R1 = 100 kN, R2 = 105 kN
Biegemoment an jeder Markierung
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
MA = 0, MB = 170, MC = 280 kN·m, MD = 240, ME = 140, MF = −20, MG = 0
Antwort
Markierung C: MC = 280 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 89,1 × 10⁶ mm⁴
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (28800·120 − 3200·156)/(28800 − 3200) = 115,5 mm