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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme die skalare Projektion compb a von a = (−5, −7, 1) auf b = (−6, −1, −6), also die Komponente von a in Richtung von b.
a = (−5, −7, 1)b = (−6, −1, −6)
compb a =
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Eine Kraft F = (−20, 0, −20) N wirkt im Punkt A(0, −4, −4). Die Koordinaten sind in Metern angegeben. Bestimme die y-Komponente My des Moments der Kraft bezüglich den Ursprung O(0, 0, 0).
F = (−20, 0, −20) NA(0, −4, −4) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 7 m von A und ein eingeprägtes Moment M (im Uhrzeigersinn) im Abstand 5 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB, nach oben positiv.
L = 8 mP = 35 kN bei 7 mM = 15 kN·m (im Uhrzeigersinn) bei 5 m
RB = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 2,5 m von A entfernt an, unter 60° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 1 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.
L = 5 mP = 35 kN bei 2,5 m, θ = 60°Q = 20 kN bei 1 m
RA = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 30 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 20 kNhorizontale Last = 25 kN →
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Der gezeigte Rahmen hat Gelenke in A, B und C; A und C sind 5 m voneinander entfernt am Boden befestigt, und B liegt 2 m über dem Boden und 2,25 m rechts von A. Auf das Bauteil AB wirkt in K, 1,35 m (horizontal) von A entfernt, eine vertikale Last von 4 kN. Bestimme die Kraft FBC im Stab BC.
P = 4 kNL = 5 mH = 2 mhorizontaler Abstand von A zu B = 2,25 mhorizontaler Abstand von A zu K = 1,35 m
FBC = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Der gezeigte A-Rahmen steht auf einem Festlager in A und einem Loslager in B, 5 m voneinander entfernt. Die Schenkel treffen sich im Gelenk C, 4,5 m hoch, und sind durch den horizontalen Stab DE in 1,5 m Höhe verbunden. In C wirkt eine horizontale Kraft von 2 kN nach rechts. Bestimme die Zugkraft T in der Zugstange.
P = 2 kNAB = 5 mHöhe von C = 4,5 mHöhe von DE = 1,5 m
T = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Einfeldträger trägt bei x = 2,5 m von A ein Moment M0 = 20 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment Mx unmittelbar links vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 5 mM0 = 20 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 2,5 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 4 mP = 35 kN bei 3 mw = 8 kN/m von 0 bis 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Eine Platte von 120 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 105 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 35 MPa auf Zug und 100 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment Mallow, das der Träger aufnehmen kann.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = (−5)·(−6) + (−7)·(−1) + 1·(−6) = 31
Länge von b
|b| = √((−6)² + (−1)² + (−6)²) = 8,544
Skalare Projektion
compb a = a·b/|b| = 31/8,544 = 3,628
Antwort
compb a = 3,628
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: My = 80 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Ortsvektor von O nach A
r = A − O = (0, −4, −4) − (0, 0, 0) = (0, −4, −4) m
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Momente um A
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: RB·8 − 35·7 − 15 = 0
RB = 260/8 = 32,5 kN
Vertikales Gleichgewicht
RA = 35 − 32,5 = 2,5 kN
Antwort
RB = 32,5 kN
Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RA = 35,73 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Komponenten von P
Pv = 35·sin 60° = 30,31 kN
Ph = 35·cos 60° = 17,5 kN
Auflagerkräfte
ΣMA = 0: RB·5 = 30,31·2,5 + 20·1 → RB = 19,16 kN
Ay = 30,31 + 20 − 19,16 = 31,16 kN
Ax = Ph = 17,5 kN
Resultierende in A
RA = √(17,5² + 31,16²) = 35,73 kN
Antwort
RA = 35,73 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAC = 6,563 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·1 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3,75 = 26,25 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 + 25·2 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 14 = 6 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Zweikraftstab BC
BC = √(2,75² + 2²) = 3,4 m
Ganzer Rahmen: Momente um A
Der Boden drückt in C entlang CB auf BC; seine horizontale Komponente geht durch A, nur die vertikale hat ein Moment.
FBC·(2/3,4)·5 = 4·1,35
FBC = 1,836 kN (Druck)
Antwort
FBC = 1,836 kN
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: T = 1,5 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Ganzer Rahmen: Momente um A
By·5 = 2·4,5
By = 1,8 kN
Schenkel BC: Momente um C
1,8·2,5 = T·3
T = 1,5 kN
Antwort
T = 1,5 kN
Ein positives T bedeutet, dass die Zugstange wie angenommen auf Zug beansprucht wird.
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = −10 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.
Auflagerkräfte
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: RB·L − M0 = 0. Vertikales Gleichgewicht: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/5 = 4 kN (nach oben)
RA = −RB = −4 kN (nach unten)
Schnitt unmittelbar links vom eingeprägten Moment
Der linke Teil enthält nur RA.
Mx = RA·a = −4·2,5 = −10 kN·m
Antwort
Mx = −10 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 38,25 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, angreifend bei x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·3 + 8·4·2
RB = 169/4 = 42,25 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 42,25 = 24,75 kN
Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 24,75·3 − 8·3·1,5 = 38,25 kN·m
Antwort
Mx = 38,25 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (18000·75 − 1963·105)/(18000 − 1963) = 71,33 mm
Volle Platte um ȳ
120·150³/12 + 18000·3,673² = 33,99 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
π·50⁴/64 + 1963·33,67² = 2,533 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Mallow = 3,121 kN·m
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.