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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Eine konstante Kraft F = (15, −10, −10) N wirkt auf einen Körper, während er sich geradlinig von Punkt A(−4, 5, −4) nach Punkt B(5, 0, 1) bewegt. Die Koordinaten sind in Metern angegeben. Bestimme die von der Kraft verrichtete Arbeit W.
F = (15, −10, −10) NA(−4, 5, −4) mB(5, 0, 1) m
W = J
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Der Einheitsvektor n̂ steht senkrecht auf a = (−1, 3, 5) und b = (2, −1, −1) und hat eine positive z-Komponente. Bestimme seine x-Komponente n̂x.
a = (−1, 3, 5)b = (2, −1, −1)n̂z > 0
n̂x =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 6 mP1 = 60 kN bei 1 mP2 = 35 kN bei 2 m
RB = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 6 mP = 55 kN bei 3,5 mw = 5 kN/m von 1 bis 5 m
RB = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 10 kN
FBC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 4 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 20 kNhorizontale Last = 10 kN →
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Ein horizontaler Balken AB ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von der Strebe CD abgestützt, die in C, 0,6 m unter A, gelenkig an der Wand befestigt ist. In B hängt eine Last von 6 kN. Vernachlässige die Gewichte. Bestimme den Betrag der Gelenkkraft A auf den Balken in A.
P = 6 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 0,6 m
A = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Der Balken AB der gezeigten Wandkonsole ist in A gelenkig gelagert und wird von der Strebe CD abgestützt (C liegt 1,2 m unter A). Der Balken trägt über seine ganze Länge eine Streckenlast von 2,5 kN/m und an seinem freien Ende B eine Einzellast von 12 kN. Bestimme die Kraft FCD in der Strebe.
w = 2,5 kN/mP = 12 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 6 mw = 3 kN/m von 0 bis 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 6 mP = 60 kN bei 4 mw = 5 kN/m von 0 bis 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Eine Platte von 150 mm × 150 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 80 mm Breite und 30 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 52,5 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 150 mmh = 150 mmAusschnitt: 80 × 30 mmLochmittelpunkt: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Lösungen
1.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: W = 135 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Weg
d = B − A = (5, 0, 1) − (−4, 5, −4) = (9, −5, 5) m
Arbeit
W = F·d = 15·9 + (−10)·(−5) + (−10)·5 = 135 J
Antwort
W = 135 J
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: n̂x = −0,1907
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kreuzprodukt
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−1) − 5·(−1) = 2
(a × b)y = azbx − axbz = 5·2 − (−1)·(−1) = 9
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−1) − 3·2 = −5
Normieren
Die z-Komponente von a × b ist negativ, verwende also −(a × b).
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 35·2
RB = 130/6 = 21,67 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 21,67 = 73,33 kN
Antwort
RB = 21,67 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 42,08 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3,5 + 5·4·3
RB = 252,5/6 = 42,08 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 42,08 = 32,92 kN
Antwort
RB = 42,08 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FBC = −7,454 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·2 + 10·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Strebenkraft
FCD = 6·3,6/(0,3714·1,5) = 38,77 kN
Komponenten in A
Ax = FCD·cos α = 36 kN (zur Wand hin)
Ay = 6 − FCD·sin α = −8,4 kN
Betrag
A = √(36² + −8,4²) = 36,97 kN
Antwort
A = 36,97 kN
Ein negatives Ay bedeutet, dass die Wand den Balken in A nach unten zieht.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: FCD = 49,22 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Resultierende der Streckenlast
w·L = 2,5·2,5 = 6,25 kN bei 1,25 m
Momente um A für den Balken
FCD·0,7682·1 = 6,25·1,25 + 12·2,5 = 37,81 kN·m
FCD = 49,22 kN
Antwort
FCD = 49,22 kN
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 7,5 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
Schnitt bei x = 1 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 9·1 − 3·1·0,5 = 7,5 kN·m
Antwort
Mx = 7,5 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 100 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4 + 5·6·3
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 55 = 35 kN
Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 35·4 − 5·4·2 = 100 kN·m
Antwort
Mx = 100 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 20,13 × 10⁶ mm⁴
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (22500·75 − 2400·52,5)/(22500 − 2400) = 77,69 mm