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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme die skalare Projektion compb a von a = (−5, 2, 1) auf b = (−6, 2, −2), also die Komponente von a in Richtung von b.
a = (−5, 2, 1)b = (−6, 2, −2)
compb a =
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Eine Kraft F = (−50, −20, −30) N wirkt im Punkt A(1, −2, 1). Die Koordinaten sind in Metern angegeben. Bestimme die y-Komponente My des Moments der Kraft bezüglich Punkt O(3, −1, 0).
F = (−50, −20, −30) NA(1, −2, 1) mO(3, −1, 0) m
My = N·m
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
L = 10 mP1 = 25 kN bei 3 mP2 = 35 kN bei 7 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 10 mP = 55 kN bei 5 mw = 6 kN/m von 6 bis 9 m
RB = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 4 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 10 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 3 mB liegt 6 m von A entferntvertikale Last = 40 kNhorizontale Last = 10 kN →
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Der gezeigte Rahmen hat Gelenke in A, B und C; A und C sind 6 m voneinander entfernt am Boden befestigt, und B liegt 2 m über dem Boden und 1,8 m rechts von A. Auf das Bauteil AB wirkt in K, 0,45 m (horizontal) von A entfernt, eine vertikale Last von 8 kN. Bestimme die Kraft FBC im Stab BC.
P = 8 kNL = 6 mH = 2 mhorizontaler Abstand von A zu B = 1,8 mhorizontaler Abstand von A zu K = 0,45 m
FBC = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Ein gleichmäßiger horizontaler Ausleger AB mit dem Gewicht 1 kN ist in A gelenkig an einer Wand befestigt und wird von einem Seil gehalten, das von B zum Punkt C an der Wand, 4 m über A, führt. In B hängt eine Last von 2 kN. Bestimme den Betrag der Gelenkreaktion A.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 4 m
A = kN
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 8,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 10 mw = 6 kN/m von 0 bis 10 mx = 8,5 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment Mmax im Balken.
L = 10 mP = 15 kN bei 8 mw = 6 kN/m von 0 bis 10 m
Mmax = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 120 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 200 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.
b = 120 mmh = 200 mmt = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 50 MPa auf Zug und 120 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment Mallow, das der Träger aufnehmen kann.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = (−5)·(−6) + 2·2 + 1·(−2) = 32
Länge von b
|b| = √((−6)² + 2² + (−2)²) = 6,633
Skalare Projektion
compb a = a·b/|b| = 32/6,633 = 4,824
Antwort
compb a = 4,824
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: My = −110 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Ortsvektor von O nach A
r = A − O = (1, −2, 1) − (3, −1, 0) = (−2, −1, 1) m
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·10 = 25·3 + 35·7
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 32 = 28 kN
Antwort
RA = 28 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 41 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, angreifend bei x̄ = 7,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·5 + 6·3·7,5
RB = 410/10 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 41 = 32 kN
Antwort
RB = 41 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAB = −8,385 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2,5 = 7,5 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7,5/0,8944 = −8,385 kN
Antwort
FAB = −8,385 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FBC = −40,56 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·6 + 10·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 33,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Zweikraftstab BC
BC = √(4,2² + 2²) = 4,652 m
Ganzer Rahmen: Momente um A
Der Boden drückt in C entlang CB auf BC; seine horizontale Komponente geht durch A, nur die vertikale hat ein Moment.
FBC·(2/4,652)·6 = 8·0,45
FBC = 1,396 kN (Druck)
Antwort
FBC = 1,396 kN
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: A = 1,346 kN
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Seilkraft
T = (2 + 1/2)/0,8944 = 2,795 kN
Komponenten in A
Ax = T·cos β = 1,25 kN
Ay = 2 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Betrag
A = √(1,25² + 0,5²) = 1,346 kN
Antwort
A = 1,346 kN
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 38,25 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Schnitt bei x = 8,5 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 30·8,5 − 6·8,5·4,25 = 38,25 kN·m
Antwort
Mx = 38,25 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mmax = 90,75 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In Rechtecke aufteilen
Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.
Grundlage: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
zwei Schenkel: A2 = 2·10·190 = 3800 mm², y2 = 10 + 190/2 = 105 mm
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.