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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Eine konstante Kraft F = (−15, 20, 5) N wirkt auf einen Körper, während er sich geradlinig von Punkt A(4, −2, −2) nach Punkt B(−4, 0, −1) bewegt. Die Koordinaten sind in Metern angegeben. Bestimme die von der Kraft verrichtete Arbeit W.
F = (−15, 20, 5) NA(4, −2, −2) mB(−4, 0, −1) m
W = J
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Bestimme die Fläche A des Dreiecks mit den Eckpunkten A(−1, 3, −1), B(−4, 1, 4) und C(−4, 3, −3). Die Koordinaten sind in Metern angegeben.
A(−1, 3, −1)B(−4, 1, 4)C(−4, 3, −3)
A = m²
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
L = 8 mP1 = 35 kN bei 2 mP2 = 50 kN bei 3 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 0,5 m von A entfernt an, unter 40° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 3 m von A entfernt an. Bestimme den Winkel α zwischen der gesamten Auflagerkraft im Festlager A und der Horizontalen.
L = 5 mP = 20 kN bei 0,5 m, θ = 40°Q = 40 kN bei 3 m
α = °
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 3 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 50 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 6 mHöhe = 3 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 60 kNhorizontale Last = 25 kN →
FAC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Im gezeigten Kniehebelspanner sind zwei gleich lange Lenker AB und BC in B gelenkig verbunden, und jeder bildet 10° mit der Linie AC. In B wirkt eine nach unten gerichtete Kraft von 400 N. Der Schieber C drückt auf ein Werkstück. Bestimme ohne Reibung und Gewichte die horizontale Klemmkraft Q.
F = 400 Nθ = 10°
Q = N
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Eine Kniehebelpresse hat zwei gleich lange Lenker AB und BC, jeder 200 mm lang zwischen den Gelenken. Das Gelenk B liegt 8 mm über der Linie AC. Welche nach unten gerichtete Kraft F in B erzeugt eine horizontale Presskraft von 2000 N am Schieber C? Vernachlässige Reibung und Gewichte.
Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 8 mm
F = N
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 10 mw = 4 kN/m von 0 bis 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment Mmax zwischen den Auflagern.
L = 6 mw = 3 kN/m von 0 bis 6 mAuflager bei x = 0 und x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Eine Platte von 150 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 130 mm Breite und 16 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 400 mm und einen Steg mit 14 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 100 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σj am Übergang vom Steg zum Obergurt.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Weg
d = B − A = (−4, 0, −1) − (4, −2, −2) = (−8, 2, 1) m
Arbeit
W = F·d = (−15)·(−8) + 20·2 + 5·1 = 165 J
Antwort
W = 165 J
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: A = 11,1 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 50·3
RB = 220/8 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 27,5 = 57,5 kN
Antwort
RA = 57,5 kN
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: α = 60,94 °
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Komponenten von P
Pv = 20·sin 40° = 12,86 kN
Ph = 20·cos 40° = 15,32 kN
Auflagerkräfte
ΣMA = 0: RB·5 = 12,86·0,5 + 40·3 → RB = 25,29 kN
Ay = 12,86 + 40 − 25,29 = 27,57 kN
Ax = Ph = 15,32 kN
Richtung in A
α = atan(Ay/Ax) = atan(27,57/15,32) = 60,94°
Antwort
α = 60,94°
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAB = −28,28 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,7071 = −28,28 kN
Antwort
FAB = −28,28 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAC = 43,33 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 + 25·3 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 32,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Gleichgewicht am Gelenk B
2·Flink·sin 10° = 400
Flink = 1152 N
Klemmkraft
Q = Flink·cos 10° = 400/(2·tan 10°) = 1134 N
Antwort
Q = 1134 N
Das Kraftverhältnis Q/F = 2,836 wächst unbegrenzt, wenn sich die Lenker strecken.
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: F = 160,1 N
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Lenkerwinkel
sin θ = 8/200 = 0,04, θ = 2,292°
Lenkerkraft
Flink = Q/cos θ = 2002 N
Kraft in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 160,1 N
Antwort
F = 160,1 N
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 32 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 20·2 − 4·2·1 = 32 kN·m
Antwort
Mx = 32 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mmax = 8,64 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (45000·150 − 2827·90)/(45000 − 2827) = 154 mm
Volle Platte um ȳ
150·300³/12 + 45000·−4,023² = 338,2 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−64,02² = 12,23 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 326 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 326 × 10⁶ mm⁴
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: σj = 86,96 MPa
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen
Beide Aussparungen zusammen sind (B − tw) breit und hw = H − 2tf hoch und haben die Achse x gemeinsam.