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1Formeln und Methoden
Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Betrag
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Einheitsvektor
û = a/|a|
Komponenten aus einem Winkel
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skalarprodukt
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Skalare Projektion von a auf b
a·b/|b|
Arbeit
W = F·d
Kreuzprodukt
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Flächen
Parallelogramm |a × b|, Dreieck ½|a × b|
Moment um O
MO = r × F, r = A − O
Volumen eines Spats (Parallelepipeds)
V = |a·(b × c)|
Methode
Schreibe jeden Vektor in Komponenten; bei einer Kraft, die mit Betrag und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
Für Längen und Richtungen verwende den Betrag √(x² + y² + z²) und den Einheitsvektor a/|a|.
Verwende das Skalarprodukt für Winkel, Projektionen, Orthogonalität und Arbeit: a·b = |a||b|cos θ.
Verwende das Kreuzprodukt für senkrechte Vektoren, Flächen und Momente: Schreibe die drei Komponenten sorgfältig auf und behalte die Reihenfolge a × b bei.
Auflagerkräfte am Balken
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Methode
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.
Rahmen und Maschinen
Gleichgewicht jedes Stabes
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Zweikraftstab
Kraft entlang der Geraden durch seine beiden Gelenke
Gelenkkraft
gleich groß und entgegengesetzt auf die beiden verbundenen Bauteile
Betrag einer Gelenkkraft
F = √(Fx² + Fy²)
Hebel, Zange, Winkelhebel
Fin·a = Fout·b
Kniehebel
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Methode
Zeichne das gesamte Tragwerk und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
Finde die Zweikraftstäbe: Sie sind nur an zwei Gelenken belastet, ihre Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Gelenke.
Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften dort, wo Bauteile zusammentreffen.
Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk mit unbekannten Kräften, dann verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0; füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen.
Querkraft und Biegemoment
Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8
Methode
Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Übungsaufgaben
1.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktMittel
Bestimme die skalare Projektion compb a von a = (1, −6, −3) auf b = (−3, −2, −2), also die Komponente von a in Richtung von b.
a = (1, −6, −3)b = (−3, −2, −2)
compb a =
2.Vektoren: Skalar- und KreuzproduktSchwer
Der Einheitsvektor n̂ steht senkrecht auf a = (3, 5, 5) und b = (2, 2, −3) und hat eine positive z-Komponente. Bestimme seine y-Komponente n̂y.
a = (3, 5, 5)b = (2, 2, −3)n̂z > 0
n̂y =
3.Auflagerkräfte am BalkenMittel
Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 3,5 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.
AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 40 kN bei 1,5 mP2 = 75 kN bei 5 m
RA = kN
4.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 5 mP = 15 kN bei 1 mw = 2 kN/m von 2 bis 3 m
RB = kN
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 5 mHöhe = 4 mB liegt 4 m von A entferntvertikale Last = 30 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Spannweite = 8 mHöhe = 4 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 45 kNhorizontale Last = 20 kN ←
FBC = kN
7.Rahmen und MaschinenMittel
Der gezeigte Rahmen hat Gelenke in A, B und C; A und C sind 4 m voneinander entfernt am Boden befestigt, und B liegt 2,5 m über dem Boden und 1,2 m rechts von A. Auf das Bauteil AB wirkt in K, 0,72 m (horizontal) von A entfernt, eine vertikale Last von 10 kN. Bestimme die Kraft FBC im Stab BC.
P = 10 kNL = 4 mH = 2,5 mhorizontaler Abstand von A zu B = 1,2 mhorizontaler Abstand von A zu K = 0,72 m
FBC = kN
8.Rahmen und MaschinenSchwer
Eine Kniehebelpresse hat zwei gleich lange Lenker AB und BC, jeder 150 mm lang zwischen den Gelenken. Das Gelenk B liegt 30 mm über der Linie AC. Welche nach unten gerichtete Kraft F in B erzeugt eine horizontale Presskraft von 2000 N am Schieber C? Vernachlässige Reibung und Gewichte.
Q = 2000 NAB = BC = 150 mmh = 30 mm
F = N
9.Querkraft und BiegemomentMittel
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment MB am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 7 mP1 = 65 kN bei 3,5 mP2 = 40 kN bei 7 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
MB = kN·m
10.Querkraft und BiegemomentSchwer
Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
L = 4 mP = 50 kN bei 3 mw = 3 kN/m von 0 bis 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 280 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 130 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 18 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.
b = 280 mmh = 130 mmt = 18 mm
ȳ = mm
12.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 200 × 12 mm, einen Steg mit 160 mm Höhe und 8 mm Dicke sowie einen Untergurt 170 × 10 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skalarprodukt
a·b = 1·(−3) + (−6)·(−2) + (−3)·(−2) = 15
Länge von b
|b| = √((−3)² + (−2)² + (−2)²) = 4,123
Skalare Projektion
compb a = a·b/|b| = 15/4,123 = 3,638
Antwort
compb a = 3,638
2.Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt
Antwort: n̂y = −0,6002
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kreuzprodukt
(a × b)x = aybz − azby = 5·(−3) − 5·2 = −25
(a × b)y = azbx − axbz = 5·2 − 3·(−3) = 19
(a × b)z = axby − aybx = 3·2 − 5·2 = −4
Normieren
Die z-Komponente von a × b ist negativ, verwende also −(a × b).
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Momente um A
Gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: RB·3,5 = 40·1,5 + 75·5
RB = 435/3,5 = 124,3 kN
Vertikales Gleichgewicht
RA = 40 + 75 − 124,3 = −9,286 kN
Antwort
RA = −9,286 kN
RA ist negativ: Das Festlager in A muss den Balken nach unten halten.
4.Auflagerkräfte am Balken
Antwort: RB = 4 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 2·1·2,5
RB = 20/5 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 17 − 4 = 13 kN
Antwort
RB = 4 kN
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FAB = −8,485 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·4 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 24 = 6 kN
Knoten A
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6/0,7071 = −8,485 kN
Antwort
FAB = −8,485 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren
Antwort: FBC = −11,01 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·3 − 20·4 → Cy = 6,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 6,875 = 38,13 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Knoten C
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.
Zweikraftstab BC
BC = √(2,8² + 2,5²) = 3,754 m
Ganzer Rahmen: Momente um A
Der Boden drückt in C entlang CB auf BC; seine horizontale Komponente geht durch A, nur die vertikale hat ein Moment.
FBC·(2,5/3,754)·4 = 10·0,72
FBC = 2,703 kN (Druck)
Antwort
FBC = 2,703 kN
8.Rahmen und Maschinen
Antwort: F = 816,5 N
Maschinen: Zangen, Hebel, Gestänge und Zwingen setzen eine Eingangskraft in eine größere oder anders gerichtete Ausgangskraft um. Zeichne ein Teil als Freikörper und bilde die Momente um seinen Drehpunkt: Die Gelenkkraft fällt heraus, und Fin·a = Fout·b liefert die Kraftübersetzung a/b. Die Gelenkkraft folgt dann aus ΣF = 0 am selben Teil. In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ; jeder Lenker ist ein Zweikraftstab, sodass eine kleine Kraft F am Gelenk große Lenkerkräfte F/(2 sin θ) und eine Klemmkraft F/(2 tan θ) erzeugt.
Lenkerwinkel
sin θ = 30/150 = 0,2, θ = 11,54°
Lenkerkraft
Flink = Q/cos θ = 2041 N
Kraft in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 816,5 N
Antwort
F = 816,5 N
9.Querkraft und Biegemoment
Antwort: MB = −40 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.
ΣMA = 0: RB·6 = 65·3,5 + 40·7
RB = 507,5/6 = 84,58 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 84,58 = 20,42 kN
Schnitt bei B, Kragarm behalten
Auf den Kragarm wirkt nur P2 mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).
MB = −P2·a = −40·1 = −40 kN·m
Antwort
MB = −40 kN·m
10.Querkraft und Biegemoment
Antwort: Mx = 31 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Auflagerkräfte
Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·3 + 3·4·2
RB = 174/4 = 43,5 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 43,5 = 18,5 kN
Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten
Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.
M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 18,5·2 − 3·2·1 = 31 kN·m
Antwort
Mx = 31 kN·m
11.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: ȳ = 37,89 mm
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In Rechtecke aufteilen
Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.
Grundlage: A1 = 280·18 = 5040 mm², y1 = 9 mm
zwei Schenkel: A2 = 2·18·112 = 4032 mm², y2 = 18 + 112/2 = 74 mm
Schwerpunkt
ȳ = (5040·9 + 4032·74)/9072 = 37,89 mm
Antwort
ȳ = 37,89 mm
12.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment
Antwort: Ix = 32,09 × 10⁶ mm⁴
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.