Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 17, 19, 47, 27, 19.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt über 54?

μ = 60σ = 12x = 54

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 5 Personen aus einer Gruppe von 12 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 12k = 5

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

6 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,1 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 6p = 0,1

P =

5.NormalverteilungMittel

X ist normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 4 g; Y ist unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 500 g und der Standardabweichung 9 g. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X + Y größer als 764,8 g ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 30 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 50 Handys, Mittelwert 88,5 h, bekannte Standardabweichung 8 h. Modell 2: 40 Handys, Mittelwert 90,5 h, bekannte Standardabweichung 6 h. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 88,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 90,5 hσ₂ = 6 h90%

untere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 11. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat?

σ = 11E = 0,590%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 6 Studierende, mittlere Punktzahl 78, Standardabweichung 9,5. Gruppe 2: 6 Studierende, mittlere Punktzahl 64,9, Standardabweichung 11. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).

n₁ = 6x̄₁ = 78s₁ = 9,5n₂ = 6x̄₂ = 64,9s₂ = 11

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 64 Messungen hat den Mittelwert 74,9. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 4. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 74,9σ = 4n = 6495%

L =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (18,5, 53) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(18,5, 53)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 12,46

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 129/5 = 25,8

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + (−6,8)² + 21,2² + 1,2² + (−6,8)² = 620,8

Standardabweichung

s = √(620,8/4) = 12,46

Antwort

s = 12,46

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,6915

Standardisieren

z = −0,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Antwort

P = 0,6915

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 792

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Antwort

N = 792

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,8857

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Addieren

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Antwort

P = 0,8857

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,06681

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Summe

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standardisieren

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

Oberer Rand

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Antwort

P = 0,06681

6.Normalverteilung

Antwort: x = 247,4 g

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,3

z aus der Tabelle

z ≈ −0,52

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Antwort

x = 247,4 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = −4,429 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 88,5 − 90,5 = −2

Standardfehler

SE = √(8²/50 + 6²/40) = 1,476

Fehlermarge

E = 1,645·1,476 = 2,429

Intervall

−2 ± 2,429 → [−4,429, 0,4288]

Antwort

untere Grenze = −4,429 h

Das Intervall enthält die 0, die Daten zeigen also keinen signifikanten Unterschied.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 1310

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = (1,645·11/0,5)² = 1310

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 1310

Antwort

n = 1310

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 2,208

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolte Varianz

s_p² = (5·9,5² + 5·11²)/10 = 105,6

s_p = 10,28

Standardfehler

SE = 10,28·√(1/6 + 1/6) = 5,934

Teststatistik

t = (78 − 64,9)/5,934 = 2,208

Antwort

t = 2,208

Bei df = 10 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,228; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: L = 73,92

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Fehlermarge

E = 1,96·4/√64 = 0,98

Intervallgrenze

L = 74,9 − 0,98 = 73,92

Antwort

L = 73,92

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9672

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 390/5 = 78

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1694

Bestimmtheitsmaß

r² = 384²/(90·1694) = 0,9672

Antwort

r² = 0,9672

Etwa 96,72 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = −3,124

Mittelwerte

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 454/6 = 75,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

Regressionsgerade

b = 513/157,5 = 3,257

a = 75,67 − 3,257·24,5 = −4,133

ŷ = −4,133 + 3,257·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = −4,133 + 3,257·18,5 = 56,12

Residuum

e = 53 − 56,12 = −3,124

Antwort

e = −3,124

Der Punkt liegt unter der Geraden.

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