Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 16, 26, 11, 22, 60.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 25. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 537,5.

μ = 500σ = 25x = 537,5

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Varianz Var(X) von X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

8 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 8p = 0,7

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 502 und 522 h? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 522

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Bestimme den Wert x, unter dem 99 % von ihnen liegen (das 99. Perzentil).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Der Blutdruck von 9 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 0,7 und die Standardabweichung 3,7. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.

n = 9d̄ = 0,7s_d = 3,795%t(8) = 2,306

obere Grenze = mmHg

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 6 Parzellen, mittlerer Ertrag 91,5 kg, Standardabweichung 2 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 103,5 kg, Standardabweichung 8,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 91,5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 103,5s₂ = 8,595%t(10) = 2,228

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 118,7 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,7s = 15n = 100

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 3 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 16. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,01Teststärke = 80%δ = 3σ = 16z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5Σx = 25Σy = 230Σx² = 165Σy² = 10964Σxy = 1270

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 17 voraus?

n = 5ŷ = 17

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 19,31

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 135/5 = 27

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−1)² + (−16)² + (−5)² + 33² = 1492

Standardabweichung

s = √(1492/4) = 19,31

Antwort

s = 19,31

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 1,5

Standardisieren

z = (537,5 − 500)/25 = 1,5

Antwort

z = 1,5

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: Var(X) = 0,6475

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varianz

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Antwort

Var(X) = 0,6475

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,00129

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,3⁸ = 6,561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0,7·0,3⁷ = 0,001225

Addieren

P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129

Antwort

P = 0,00129

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,1889

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05

z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55

Fläche dazwischen

P = Φ(0,55) − Φ(0,05) = 0,7088 − 0,5199 = 0,1889

Antwort

P = 0,1889

6.Normalverteilung

Antwort: x = 593,1 h

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Zurück zu x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Antwort

x = 593,05 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 3,544 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritischer Wert

df = 8, t = 2,306

Fehlermarge

E = 2,306·3,7/√9 = 2,844

Intervall

0,7 ± 2,844 → [−2,144, 3,544]

Antwort

obere Grenze = 3,544 mmHg

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −4,057 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (5·2² + 5·8,5²)/10 = 38,13

s_p = 6,175

Fehlermarge

E = 2,228·6,175·√(1/6 + 1/6) = 7,943

Intervall

−12 ± 7,943 → [−19,94, −4,057]

Antwort

obere Grenze = −4,057 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −0,8667

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Teststatistik

t = (118,7 − 120)/1,5 = −0,8667

Antwort

t = −0,8667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 286

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((2,326 + 0,842)·16/3)² = 285,5

Aufrunden

n = 286

Antwort

n = 286

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9682

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 1270 − 25·230/5 = 120

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 10964 − 230²/5 = 384

Korrelationskoeffizient

r = 120/√(40·384) = 0,9682

Antwort

r = 0,9682

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 3,455

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Regressionsgerade

b = −22/10 = −2,2

a = 18 − (−2,2)·3 = 24,6

ŷ = 24,6 − 2,2·x

Nach x auflösen

x = (17 − 24,6)/(−2,2) = 3,455

Antwort

x = 3,455

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