Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 19, 56, 43, 20, 38.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 20. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 100.

μ = 70σ = 20x = 100

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Standardabweichung σ von X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2

σ =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

6 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 6p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 454 und 548 h? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 548

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 5 % von ihnen liegen (das 5. Perzentil).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 20 Elementen hat den Mittelwert 100 und die Standardabweichung s = 15. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 20x̄ = 100s = 1595%t(19) = 2,093

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,05 hat?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 497,8 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 10n = 64

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 68 von 150 Patienten unter Behandlung A und 74 von 150 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 74n₂ = 150

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 11 voraus?

n = 5ŷ = 11

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,77

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 176/5 = 35,2

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−16,2)² + 20,8² + 7,8² + (−15,2)² + 2,8² = 994,8

Standardabweichung

s = √(994,8/4) = 15,77

Antwort

s = 15,77

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 1,5

Standardisieren

z = (100 − 70)/20 = 1,5

Antwort

z = 1,5

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ = 1,071

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,45

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,25

Varianz

Var(X) = 3,25 − 1,45² = 1,147

σ = √1,147 = 1,071

Antwort

σ = 1,071

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,6554

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Addieren

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Antwort

P = 0,6554

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,7599

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Fläche dazwischen

P = Φ(1,2) − Φ(−1,15) = 0,8849 − 0,1251 = 0,7599

Antwort

P = 0,7599

6.Normalverteilung

Antwort: x = 241,8 g

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Zurück zu x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Antwort

x = 241,78 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 107

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Fehlermarge

E = 2,093·15/√20 = 7,02

Intervall

100 ± 7,02 → [92,98, 107]

Antwort

obere Grenze = 107

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Nach n auflösen

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Aufrunden

n = 385

Antwort

n = 385

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −1,76

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Teststatistik

t = (497,8 − 500)/1,25 = −1,76

Antwort

t = −1,76

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −0,6938

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 68/150 = 0,4533

p̂₂ = 74/150 = 0,4933

p̂ = 142/300 = 0,4733

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,4733·0,5267·(1/150 + 1/150)) = 0,05765

Teststatistik

z = (0,4533 − 0,4933)/0,05765 = −0,6938

Antwort

z = −0,6938

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9623

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 381/6 = 63,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 987,5

Korrelationskoeffizient

r = 126,5/√(17,5·987,5) = 0,9623

Antwort

r = 0,9623

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 5,034

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Regressionsgerade

b = 58/40 = 1,45

a = 12,4 − 1,45·6 = 3,7

ŷ = 3,7 + 1,45·x

Nach x auflösen

x = (11 − 3,7)/1,45 = 5,034

Antwort

x = 5,034

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