Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 54, 46, 39, 40, 27, 28.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 5. Welcher Anteil P der Werte liegt über 60?

μ = 70σ = 5x = 60

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Standardabweichung σ von X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15

σ =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 12 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 1 richtige Antworten?

n = 12p = 0,6k = 1

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 480 und 562 h? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 562

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 25 % von ihnen liegen (das 25. Perzentil).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 40 Handys, Mittelwert 98,5 h, bekannte Standardabweichung 13 h. Modell 2: 60 Handys, Mittelwert 85,5 h, bekannte Standardabweichung 6 h. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 98,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 60x̄₂ = 85,5 hσ₂ = 6 h95%

E = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 6 Parzellen, mittlerer Ertrag 41,5 kg, Standardabweichung 6 kg. Parzellengruppe 2: 15 Parzellen, Mittelwert 48,5 kg, Standardabweichung 1,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 41,5s₁ = 6n₂ = 15x̄₂ = 48,5s₂ = 1,590%t(19) = 1,729

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 72,6 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,6s = 8n = 36

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat? Die Standardabweichung ist 4. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.

σ = 4E = 0,590%

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5Σx = 35Σy = 265Σx² = 285Σy² = 15071Σxy = 2057

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 53 voraus?

n = 5ŷ = 53

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 10,39

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 234/6 = 39

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 15² + 7² + 0² + 1² + (−12)² + (−11)² = 540

Standardabweichung

s = √(540/5) = 10,39

Antwort

s = 10,39

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9772

Standardisieren

z = −2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Antwort

P = 0,9772

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ = 1,03

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,15 = 1,2

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,15 = 2,5

Varianz

Var(X) = 2,5 − 1,2² = 1,06

σ = √1,06 = 1,03

Antwort

σ = 1,03

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,000302

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomialformel

P(X = 1) = 12·0,6¹·0,4¹¹ = 12·0,6·4,194 × 10⁻⁵ = 0,000302

Antwort

P = 0,000302

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,6309

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Fläche dazwischen

P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309

Antwort

P = 0,6309

6.Normalverteilung

Antwort: x = 246,6 g

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Zurück zu x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Antwort

x = 246,63 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 4,305 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 98,5 − 85,5 = 13

Standardfehler

SE = √(13²/40 + 6²/60) = 2,197

Fehlermarge

E = 1,96·2,197 = 4,305

Antwort

E = 4,305 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −4,213 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (5·6² + 14·1,5²)/19 = 11,13

s_p = 3,336

Fehlermarge

E = 1,729·3,336·√(1/6 + 1/15) = 2,787

Intervall

−7 ± 2,787 → [−9,787, −4,213]

Antwort

obere Grenze = −4,213 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −1,8

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Teststatistik

t = (72,6 − 75)/1,333 = −1,8

Antwort

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 174

Nach n auflösen

n = (1,645·4/0,5)² = 173,2

Aufrunden

n = 174

Antwort

n = 174

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9971

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 2057 − 35·265/5 = 202

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 15071 − 265²/5 = 1026

Korrelationskoeffizient

r = 202/√(40·1026) = 0,9971

Antwort

r = 0,9971

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 3,862

Mittelwerte

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 316/5 = 63,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

Regressionsgerade

b = 130/40 = 3,25

a = 63,2 − 3,25·7 = 40,45

ŷ = 40,45 + 3,25·x

Nach x auflösen

x = (53 − 40,45)/3,25 = 3,862

Antwort

x = 3,862

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