Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 27, 45, 31, 13, 51, 32.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 68?

μ = 50σ = 12x = 68

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

4 / 6

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Spiel kostet €3 Einsatz. Du gewinnst €12 mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 und €30 mit der Wahrscheinlichkeit 0,05; sonst gewinnst du nichts. Der Einsatz wird nicht zurückgegeben. Bestimme den erwarteten Nettogewinn E(G) pro Spiel.

Einsatz = €3€12: p = 0,2€30: p = 0,05

E(G) = €

5.NormalverteilungMittel

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 502 und 520 h? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 520

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 99 % von ihnen liegen (das 99. Perzentil).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 30 Handys, Mittelwert 100 h, bekannte Standardabweichung 18 h. Modell 2: 100 Handys, Mittelwert 91,5 h, bekannte Standardabweichung 14 h. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 100 hσ₁ = 18 hn₂ = 100x̄₂ = 91,5 hσ₂ = 14 h90%

untere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 11 Parzellen, mittlerer Ertrag 41,5 kg, Standardabweichung 1,5 kg. Parzellengruppe 2: 11 Parzellen, Mittelwert 34,5 kg, Standardabweichung 4,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 41,5s₁ = 1,5n₂ = 11x̄₂ = 34,5s₂ = 4,595%t(20) = 2,086

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 250 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 48. Eine Zufallsstichprobe von 144 Beobachtungen hat den Mittelwert 240,32. Teste H₀: μ = 250 gegen H₁: μ < 250. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 250σ = 48n = 144x̄ = 240,32H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2 hat? Die Standardabweichung ist 5. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.

σ = 5E = 290%

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 27 voraus.

n = 6x = 27

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 13,48

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 199/6 = 33,17

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−6,167)² + 11,83² + (−2,167)² + (−20,17)² + 17,83² + (−1,167)² = 908,8

Standardabweichung

s = √(908,8/5) = 13,48

Antwort

s = 13,48

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9332

Standardisieren

z = 1,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwort

P = 0,9332

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,1333

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0,1333

Antwort

P = 0,1333

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: E(G) = 0,9 €

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Nettoergebnisse

G: 9 (p = 0,2), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)

Erwartungswert

E(G) = 9·0,2 + 27·0,05 − 3·0,75 = 0,9 €

Antwort

E(G) = 0,9 €

Ein positiver Wert bedeutet, dass du im Durchschnitt Geld gewinnst.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,1715

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Fläche dazwischen

P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715

Antwort

P = 0,1715

6.Normalverteilung

Antwort: x = 88,26 Punkte

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Zurück zu x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 Punkte

Antwort

x = 88,26 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 2,624 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 100 − 91,5 = 8,5

Standardfehler

SE = √(18²/30 + 14²/100) = 3,572

Fehlermarge

E = 1,645·3,572 = 5,876

Intervall

8,5 ± 5,876 → [2,624, 14,38]

Antwort

untere Grenze = 2,624 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 9,983 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (10·1,5² + 10·4,5²)/20 = 11,25

s_p = 3,354

Fehlermarge

E = 2,086·3,354·√(1/11 + 1/11) = 2,983

Intervall

7 ± 2,983 → [4,017, 9,983]

Antwort

obere Grenze = 9,983 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,00776

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 48/√144 = 4

z = (240,32 − 250)/4 = −2,42

Endfläche

Φ(2,42) = 0,9922

1 − Φ(2,42) = 0,0078

p-Wert

p = 0,00776

Antwort

p = 0,00776

p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 17

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Nach n auflösen

n = (1,645·5/2)² = 16,91

Aufrunden

n = 17

Antwort

n = 17

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,8

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 72

Bestimmtheitsmaß

r² = −24²/(10·72) = 0,8

Antwort

r² = 0,8

Etwa 80 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 120,1

Mittelwerte

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 601/6 = 100,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 349

Regressionsgerade

b = 349/70 = 4,986

a = 100,2 − 4,986·23 = −14,5

ŷ = −14,5 + 4,986·x

Vorhersage

ŷ = −14,5 + 4,986·27 = 120,1

Antwort

ŷ = 120,1

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