Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 44, 21, 43, 21, 30, 47.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 88?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 3 rote und 8 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

3 / 8

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

X hat die gezeigte Verteilung, und Y = 0,5X − 3. Bestimme die Standardabweichung σ_Y von Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 0,5X − 3

σ_Y =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,7415 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,7415

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Bestimme den Wert x, unter dem 95 % von ihnen liegen (das 95. Perzentil).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 40 Handys, Mittelwert 77,5 h, bekannte Standardabweichung 14 h. Modell 2: 60 Handys, Mittelwert 86 h, bekannte Standardabweichung 12 h. Bestimme die Fehlermarge E des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 77,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 60x̄₂ = 86 hσ₂ = 12 h90%

E = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 10 Parzellen, mittlerer Ertrag 13,5 kg, Standardabweichung 1 kg. Parzellengruppe 2: 12 Parzellen, Mittelwert 22,5 kg, Standardabweichung 8 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 13,5s₁ = 1n₂ = 12x̄₂ = 22,5s₂ = 890%t(20) = 1,725

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat die mittlere Länge 99 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 7 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat den Mittelwert 100,3 mm, bekannte Standardabweichung 9 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 50x̄₁ = 99 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 30x̄₂ = 100,3 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500 wird bei α = 0,05 mit einer Stichprobe von 64 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 20. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 505,75. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.

μ₀ = 500μ = 505,75σ = 20n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (3, 53) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(3, 53)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 11,86

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 206/6 = 34,33

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 9,667² + (−13,33)² + 8,667² + (−13,33)² + (−4,333)² + 12,67² = 703,3

Standardabweichung

s = √(703,3/5) = 11,86

Antwort

s = 11,86

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9332

Standardisieren

z = −1,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwort

P = 0,9332

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,05455

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Antwort

P = 0,05455

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ_Y = 0,4183

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Streuung von X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Lineare Änderung

σ_Y = |0,5|·0,8367 = 0,4183

Antwort

σ_Y = 0,4183

Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = 0,5·1 − 3 = −2,5.

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,13

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,7415)/2 = 0,8708

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,8708 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,13

Antwort

z = 1,13

6.Normalverteilung

Antwort: x = 41,87 min

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Zurück zu x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Antwort

x = 41,87 min

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 4,445 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 77,5 − 86 = −8,5

Standardfehler

SE = √(14²/40 + 12²/60) = 2,702

Fehlermarge

E = 1,645·2,702 = 4,445

Antwort

E = 4,445 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −4,59 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (9·1² + 11·8²)/20 = 35,65

s_p = 5,971

Fehlermarge

E = 1,725·5,971·√(1/10 + 1/12) = 4,41

Intervall

−9 ± 4,41 → [−13,41, −4,59]

Antwort

obere Grenze = −4,59 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −0,6777

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(7²/50 + 9²/30) = √3,68 = 1,918

Teststatistik

z = (99 − 100,3)/1,918 = −0,6777

Antwort

z = −0,6777

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: 1 − β = 74,38 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 500 + 1,645·2,5 = 504,1

z unter dem wahren Mittelwert

z = (504,1 − 505,75)/2,5 = −0,655

Leistung

Teststärke = P(Z > −0,655) = 74,38%

1 − β = 74,38%

Antwort

1 − β = 74,38%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9945

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25,17

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 852,8

Korrelationskoeffizient

r = 243/√(70·852,8) = 0,9945

Antwort

r = 0,9945

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = −2,443

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 405/6 = 67,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Regressionsgerade

b = 211/70 = 3,014

a = 67,5 − 3,014·7 = 46,4

ŷ = 46,4 + 3,014·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 46,4 + 3,014·3 = 55,44

Residuum

e = 53 − 55,44 = −2,443

Antwort

e = −2,443

Der Punkt liegt unter der Geraden.

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