Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Gegeben sind Zementsäcke; ihre Massen sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 kg und der Standardabweichung 0,5 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass die Gesamtmasse von 5 davon 126,7 kg übersteigt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,03 mm und der Standardabweichung 0,01 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,02 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Eine Stichprobe von 13 Elementen hat den Mittelwert 62 und die Standardabweichung s = 10,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 11 Parzellen, mittlerer Ertrag 84 kg, Standardabweichung 10 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 96 kg, Standardabweichung 2 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 16 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 114,5 und eine Stichproben-Standardabweichung von 20. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
Eine Stichprobe von 64 Messungen hat den Mittelwert 102,3. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 12. Bestimme die obere Grenze U des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (3,5, 23) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Die Tabelle zeigt beobachtete Häufigkeiten. Prüfe auf dem Niveau α = 0,05, ob die beiden Variablen unabhängig sind (ohne Stetigkeitskorrektur). Berechne die Prüfgröße χ² und vergleiche sie mit dem kritischen Wert aus der Tabelle.
Antwort: P = 0,06426
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: P = 0,9099
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: untere Grenze = 55,65
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Antwort: E = 12,33 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwort: t = 2,9
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| > 2,131, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
Antwort: U = 104,8
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Antwort: r = 0,9927
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: e = 3,5
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt über der Geraden.
Antwort: χ² = 0,5833
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 2. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 5,991, also wird H₀ (Unabhängigkeit) nicht verworfen.
Antwort: χ² = 2,533
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
χ² liegt unter dem kritischen Wert, also wird H₀ nicht verworfen: Es gibt keinen signifikanten Hinweis auf einen Zusammenhang.
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