Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
X ist normalverteilt mit dem Mittelwert 60 s und der Standardabweichung 5 s; Y ist unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 45 s und der Standardabweichung 4 s. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X + Y größer als 110,1 s ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 40 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.
Der Blutdruck von 6 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert −2 und die Standardabweichung 0,5. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,05 hat?
7 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 3,44 und die Standardabweichung der Differenzen 10,1. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 200 gegen H₁: μ > 200 wird bei α = 0,01 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 20. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 207,4. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 58 voraus?
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest vergleicht die beobachteten Häufigkeiten in 9 Kategorien mit vollständig vorgegebenen erwarteten Anteilen (es werden keine Parameter aus den Daten geschätzt). Bestimme mit der Tabelle den kritischen Wert χ²crit zum Signifikanzniveau α = 0,01.
Antwort: P = 0,2119
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: x = 251,3 g
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Antwort: obere Grenze = −1,475 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwort: n = 271
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Antwort: t = 0,9011
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Bei df = 6 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,447; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
Antwort: β = 8,472 %
Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Antwort: r = 0,9903
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: x = 4,514
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: χ² = 7,2
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 2. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 5,991, also wird H₀ (Unabhängigkeit) verworfen.
Antwort: χ²crit = 20,09
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
Verwirf H₀, wenn das berechnete χ² größer als dieser Wert ist.
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