Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
X ist normalverteilt mit dem Mittelwert 60 s und der Standardabweichung 5 s; Y ist unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 45 s und der Standardabweichung 4 s. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X + Y größer als 98,6 s ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 60 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 50 Handys, Mittelwert 104,5 h, bekannte Standardabweichung 15 h. Modell 2: 80 Handys, Mittelwert 91 h, bekannte Standardabweichung 14 h. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Die Durchmesser von 11 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 10,3 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 10 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 3,247 und 2,5 % über 20,483.
Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 97,67 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.
Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 9. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 90 voraus?
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Die Tabelle zeigt beobachtete Häufigkeiten. Prüfe auf dem Niveau α = 0,05, ob die beiden Variablen unabhängig sind (ohne Stetigkeitskorrektur). Berechne die Prüfgröße χ² und vergleiche sie mit dem kritischen Wert aus der Tabelle.
Antwort: P = 0,8413
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: x = 251,3 g
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Antwort: E = 5,167 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
Antwort: σ = 7,197 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
95-%-Intervall für σ: [7,197, 18,08] µm.
Antwort: t = −1,398
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Antwort: n = 204
Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.
Antwort: r² = 0,901
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Etwa 90,1 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.
Antwort: x = 25,4
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: χ² = 3,267
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 2. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 5,991, also wird H₀ (Unabhängigkeit) nicht verworfen.
Antwort: χ² = 40,23
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
χ² liegt über dem kritischen Wert, also wird H₀ verworfen: Die Variablen scheinen zusammenzuhängen.
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