Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,0192 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 75 % von ihnen liegen (das 75. Perzentil).
Eine Stichprobe von 25 Elementen hat den Mittelwert 22,5 und die Standardabweichung s = 1. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 8 Parzellen, mittlerer Ertrag 68,5 kg, Standardabweichung 5 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 59,5 kg, Standardabweichung 3,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die untere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 6 Studierende, mittlere Punktzahl 110, Standardabweichung 2,5. Gruppe 2: 8 Studierende, mittlere Punktzahl 107,3, Standardabweichung 10,5. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).
Eine Stichprobe von 64 Messungen hat den Mittelwert 199,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 15. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 6 voraus.
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest vergleicht die beobachteten Häufigkeiten in 11 Kategorien mit vollständig vorgegebenen erwarteten Anteilen (es werden keine Parameter aus den Daten geschätzt). Bestimme mit der Tabelle den kritischen Wert χ²crit zum Signifikanzniveau α = 0,01.
Antwort: z = 2,07
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Finde 0,9808 in der Tabelle und lies z ab.
Antwort: x = 110,1 Punkte
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
Antwort: E = 0,4128
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Antwort: untere Grenze = 1,679 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwort: t = 0,6112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Bei df = 12 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,179; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.
Antwort: L = 195,9
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Antwort: r = 0,9369
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: ŷ = 64,6
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: χ² = 1,582
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 1. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 3,841, also wird H₀ (Unabhängigkeit) nicht verworfen.
Antwort: χ²crit = 23,21
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
Verwirf H₀, wenn das berechnete χ² größer als dieser Wert ist.
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