Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,9768 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.
Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,02 mm und der Standardabweichung 0,02 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,015 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.
Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 80 Handys, Mittelwert 40,5 h, bekannte Standardabweichung 10 h. Modell 2: 100 Handys, Mittelwert 49,5 h, bekannte Standardabweichung 15 h. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 10 Parzellen, mittlerer Ertrag 50,5 kg, Standardabweichung 2,5 kg. Parzellengruppe 2: 7 Parzellen, Mittelwert 44 kg, Standardabweichung 1,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.
Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 72,8 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.
Eine Stichprobe von 16 Messungen hat den Mittelwert 79,5. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 10. Bestimme die obere Grenze U des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (10, 102) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob die Häufigkeiten in 6 Kategorien einer Poisson-Verteilung folgen, deren Mittelwert aus denselben Daten geschätzt wird. Wie viele Freiheitsgrade df hat der Test?
Antwort: z = 2,27
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Finde 0,9884 in der Tabelle und lies z ab.
Antwort: P = 0,7881
Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.
Antwort: E = 3,667 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
Antwort: E = 2,265 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Antwort: t = −2,2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
|t| > 1,984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
Antwort: U = 83,61
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Antwort: r = 0,9641
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Antwort: e = −2,905
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Der Punkt liegt unter der Geraden.
Antwort: χ² = 9,643
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 2. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 5,991, also wird H₀ (Unabhängigkeit) verworfen.
Antwort: df = 4
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
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