Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
w0​ = 8 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?1 m3 m

Der Einfeldträger (Festlager in A, Loslager in B) trägt eine linear veränderliche Last, die von 8 kN/m in A auf null in B abfällt. Außerdem greift eine Einzellast P im Abstand 1 m von A an. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 4 mw0 = 8 kN/mP = 75 kN bei 1 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?3 m1 m6 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 10 mP = 45 kN bei 3 mw = 6 kN/m von 4 bis 10 m
RB = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
45 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 6 m15 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
6 kN/m55 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 6 m25 kN @ 4 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB40 kN4 m3 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 2 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 40 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB45 kN10 kN4 m3 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 2 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 45 kNhorizontale Last = 10 kN ←
FBC = kN
7.DurchbiegungMittel
w = 15 kN/mδL = 4 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.DurchbiegungSchwer
P = 20 kNP = 20 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Ein Einfeldträger trägt zwei gleiche Einzellasten P in den Drittelspunkten (L/3 von jedem Auflager). Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 20 kNL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 4 m40 × 100 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 75 kNL = 4 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 75 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 75 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 66,92 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Dreieckslast

W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·4 = 16·1,333 + 75·1
RB = 24,08 kN
RA = 91 − 24,08 = 66,92 kN

Antwort

RA = 66,92 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 38,7 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​RB​3 m1 m6 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·3 + 6·6·7
RB = 387/10 = 38,7 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 38,7 = 42,3 kN

Antwort

RB = 38,7 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 35 kN, R2 = 25 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 70, MC = 110, MD = 150 kN·m, ME = 100, MF = 50, MG = 0

Antwort

Markierung D: MD = 150 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 5 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 9 kN, R2 = 101 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 6, MC = 6, MD = 0, ME = −12, MF = −55 kN·m, MG = 0

Antwort

Markierung F: MF = −55 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAB = −18,03 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,5547 = −18,03 kN

Antwort

FAB = −18,03 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FBC = −32,14 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB45 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 − 10·2 → Cy = 28,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 28,75 = 16,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28,75/0,8944 = −32,14 kN

Antwort

FBC = −32,14 kN (Druck)
7.Durchbiegung

Antwort: δ = 20 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 20 mm

Antwort

δ = 20 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 21,63 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, L = 8000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Eine Last bei L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 10,82 mm

Beide Lasten addieren

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 21,63 mm

Antwort

δmax = 21,63 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 263,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Antwort

Pcr = 263,2 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 76,74 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 76,74 mm

Antwort

d = 76,74 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 146, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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