Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN bei 1,5 mP₂ = 20 kN bei 3,5 m

R_B = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Ein Gerberträger ist in A an der Wand eingespannt, hat ein Gelenk in C (3 m von A) und liegt in D (6 m von A) auf einem Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 4,5 m von A, eine Gleichstreckenlast w auf dem ganzen Teil CD und eine Einzellast Q im Abstand 1 m von A. Bestimme den Betrag des Einspannmoments M_A an der Wand.

AC = 3 mAD = 6 mP = 30 kN bei 4,5 mw = 4 kN/m von 3 bis 6 mQ = 30 kN bei 1 m

M_A = kN·m

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 2 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 3 mP = 20 kN bei 2 mw = 2 kN/m von 0 bis 3 m

M_A = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das Biegemoment M_B am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 9 mw = 4 kN/m von 0 bis 9 mAuflager bei x = 0 und x = 8 m

M_B = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 5 m von A entferntvertikale Last = 15 kN

F_AB = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_BC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 15 kNhorizontale Last = 20 kN ←

F_BC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 5 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 5 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_B = 18,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 20·3,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18,5 = 16,5 kN

Antwort

R_B = 18,5 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: M_A = 93 kN·m

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt. Ein Gelenk im Balken kann kein Biegemoment übertragen, das ergibt eine zusätzliche Gleichung: Das Moment der Kräfte auf jeder Seite um das Gelenk ist null.

Teil CD

Das Gelenk überträgt kein Moment, daher müssen die Momente um C allein am Teil CD im Gleichgewicht sein.

W = 4·3 = 12 kN bei 1,5 m von C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 30·1,5 + 12·1,5

R_D = 21 kN

V_C = 42 − 21 = 21 kN

Teil AC

Die Gelenkkraft V_C wirkt auf AC nach unten (gleich groß und entgegengesetzt zu ihrer Wirkung auf CD).

R_A = 30 + 21 = 51 kN

M_A = 30·1 + 21·3 = 93 kN·m

Antwort

M_A = 93 kN·m

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −49 kN·m

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −20·2 = −40 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −40 − 9 = −49 kN·m

Antwort

M_A = −49 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_B = −2 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·9 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·9·4,5

R_B = 162/8 = 20,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 20,25 = 15,75 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Die Last auf dem Kragarm, w·a, greift a/2 von B entfernt an und erzeugt über dem Auflager ein negatives Moment.

M_B = −w·a²/2 = −4·1²/2 = −2 kN·m

Antwort

M_B = −2 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AB = −6,731 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12,5 = 2,5 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,3714 = −6,731 kN

Antwort

F_AB = −6,731 kN (Druck)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_BC = 11,22 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 − 20·2 → C_y = −4,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −4,167 = 19,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4,167/0,3714 = 11,22 kN

Antwort

F_BC = 11,22 kN (Zug)

7.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 11,16 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·2500²/(3·2,52 × 10¹²·4000) = 11,16 mm

Antwort

δ_P = 11,16 mm

8.Durchbiegung

Antwort: I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,726 × 10⁸ mm⁴

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 108,1 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Antwort

P_cr = 108,1 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 22,18 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 22,18 mm

Antwort

d = 22,18 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 225,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis