Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger (Festlager in A, Loslager in B) trägt eine linear veränderliche Last, die von null in A auf 10 kN/m in B ansteigt. Außerdem greift eine Einzellast P im Abstand 4 m von A an. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN bei 4 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine linear veränderliche Last, die an der Wand 8 kN/m beträgt und bis zum freien Ende B auf null abfällt, sowie eine Einzellast P im Abstand 1,5 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments M_A an der Wand.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 65 kN bei 1,5 m

M_A = kN·m

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 2 kN/m von 0 bis 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 55 kN bei 4 mw = 4 kN/m von 0 bis 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_BC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 20 kN

F_BC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 3 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 50 kNhorizontale Last = 20 kN →

F_AC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 7 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1,5 m vom Auflager B. Bestimme die Durchbiegung δ_mid in Feldmitte.

P = 26 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 145 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 145 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 40,83 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Dreieckslast

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5,333 + 55·4

R_B = 54,17 kN

R_A = 95 − 54,17 = 40,83 kN

Antwort

R_A = 40,83 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: M_A = 118,8 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft R_A und ein Einspannmoment M_A. ΣF_y = 0 liefert R_A, und die Momente um die Wand liefern M_A = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Dreieckslast

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Moment um die Wand

M_A = W·x̄ + P·a = 16·1,333 + 65·1,5 = 118,8 kN·m

Antwort

M_A = 118,8 kN·m

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 16 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 10·2 − 2·2·1 = 16 kN·m

Antwort

M_x = 16 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 160 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 4·10·5

R_B = 420/10 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42 = 53 kN

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 53·5 − 55·(5 − 4) − 4·5·2,5 = 160 kN·m

Antwort

M_x = 160 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_BC = −6,25 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,8 = −6,25 kN

Antwort

F_BC = −6,25 kN (Druck)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 27,5 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 + 20·3 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 27,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27,5/0,7071 = −38,89 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−38,89)·0,7071 = 27,5 kN

Antwort

F_AC = 27,5 kN (Zug)

7.Durchbiegung

Antwort: δ = 24,67 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·1500³/(3·6,27 × 10¹¹) = 12,56 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 12,11 mm

Addieren

δ = 12,56 + 12,11 = 24,67 mm

Antwort

δ = 24,67 mm

8.Durchbiegung

Antwort: δ_mid = 37,27 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung in Feldmitte

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 26000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·3,99 × 10¹²) = 37,27 mm

Antwort

δ_mid = 37,27 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 33,91 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Antwort

P_cr = 33,91 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 79,73 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,73 mm

Antwort

d = 79,73 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 150,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis