Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​4 m2 m2 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 8 mP1 = 50 kN bei 4 mP2 = 55 kN bei 6 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​2 m2 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 4 mP = 50 kN bei 2 mw = 2 kN/m von 2 bis 4 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 2 kN/mABSchnitt5,5 m2,5 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 5,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 2 kN/m von 0 bis 8 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
30 kN45 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

30 kN @ 0 m45 kN @ 12 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABCDEFGH15 kN4 × 3 m4 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

H: 15 kN ↓
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB55 kN15 kN4 m3 m3 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 3 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 55 kNhorizontale Last = 15 kN ←
FAC = kN
7.DurchbiegungMittel
w = 4 kN/mABθ8 m

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θA des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.DurchbiegungSchwer
P = 55 kNAB1,5 m1,5 m

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments MA an der Einspannung.

L = 3 mP = 55 kN bei 1,5 m
MA = kN·m
9.Knicken von StützenMittel
PL = 4 md = 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
PL = 1 md = 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 38,75 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​4 m2 m2 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 55·6
RB = 530/8 = 66,25 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 66,25 = 38,75 kN

Antwort

RA = 38,75 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 26 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m2 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 2·2·3
RB = 112/4 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 28 = 26 kN

Antwort

RA = 26 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 13,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8Schnitt5,5 m2,5 m

Schnitt bei x = 5,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 8·5,5 − 2·5,5·2,75 = 13,75 kN·m

Antwort

Mx = 13,75 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 16,67 kN, R2 = 68,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −60, MC = −86,67, MD = −133,3, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −180 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 2,812 kN (T), BC: 5,625 kN (T), CD: 5,625 kN (T), DE: 8,437 kN (T), FG: 2,812 kN (C), GH: 8,437 kN (C), AF: 4,688 kN (C), HE: 14,06 kN (C), BF: 3,75 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (C), BG: 4,688 kN (C), DG: 4,688 kN (T)

Antwort

Nullstab: CG
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 10 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB55 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 − 15·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 30 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,9487 = −31,62 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31,62)·0,3162 = 10 kN

Antwort

FAC = 10 kN (Zug)
7.Durchbiegung

Antwort: θA = 0,03386 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Endneigung

θA = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,03386 rad

Antwort

θA = 0,03386 rad

Das sind 1,94°.

8.Durchbiegung

Antwort: MA = 30,94 kN·m

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Bei einem statisch unbestimmten Balken entfernt man ein überzähliges Lager und fordert dort die Durchbiegung null (Verträglichkeit).

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft RB allein hebt das freie Ende um RBL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

MA = P·L/2 − RB·L = 82,5 − 51,56 = 30,94 kN·m

Antwort

MA = 30,94 kN·m
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 78,48 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Antwort

Pcr = 78,48 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 38,86 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Antwort

σcr = 38,86 MPa

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