Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 4 mP₁ = 25 kN bei 1,5 mP₂ = 50 kN bei 2 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 6 mP = 40 kN bei 2,5 mw = 6 kN/m von 4 bis 6 m

R_A = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 1 m von A ein Moment M₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mM₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 1 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 30 kN bei 2 mw = 12 kN/m von 0 bis 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 30 kN

F_AC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 3 mB liegt 4 m von A entferntvertikale Last = 10 kNhorizontale Last = 20 kN ←

F_AC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 6 mP = 55 kN bei 3 m

M_A = kN·m

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 45 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 45 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 40,63 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 50·2

R_B = 137,5/4 = 34,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 34,38 = 40,63 kN

Antwort

R_A = 40,63 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 25,33 kN

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2,5 + 6·2·5

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 26,67 = 25,33 kN

Antwort

R_A = 25,33 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 54 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/10 = 6 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −6 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt R_A und das eingeprägte Moment.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·1 + 60 = 54 kN·m

Antwort

M_x = 54 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 112,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 12·8·4

R_B = 444/8 = 55,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 55,5 = 70,5 kN

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 70,5·5 − 30·(5 − 2) − 12·5·2,5 = 112,5 kN·m

Antwort

M_x = 112,5 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 11,25 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,5547 = −13,52 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−13,52)·0,8321 = 11,25 kN

Antwort

F_AC = 11,25 kN (Zug)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = −2,222 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 − 20·3 → C_y = −3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −3,333 = 13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3,333/0,8321 = 4,006 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(4,006)·0,5547 = −2,222 kN

Antwort

F_AC = −2,222 kN (Druck)

7.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 19,85 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 13,24 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01324 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 19,85 mm

Antwort

δ_B = 19,85 mm

8.Durchbiegung

Antwort: M_A = 61,88 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 165 − 103,1 = 61,88 kN·m

Antwort

M_A = 61,88 kN·m

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 160,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160,2 kN

Antwort

P_cr = 160,2 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 73,92 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 73,92 mm

Antwort

d = 73,92 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 162,3, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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