Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
Ein Gerberträger ist in A an der Wand eingespannt, hat ein Gelenk in C (2,5 m von A) und liegt in D (6 m von A) auf einem Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 4 m von A, eine Gleichstreckenlast w auf dem ganzen Teil CD. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.
Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment MB am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.
Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.
Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 4,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.
Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.
Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 20 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.
Antwort: RB = 46,67 kN
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
Antwort: MA = 72,32 kN·m
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt. Ein Gelenk im Balken kann kein Biegemoment übertragen, das ergibt eine zusätzliche Gleichung: Das Moment der Kräfte auf jeder Seite um das Gelenk ist null.
Das Gelenk überträgt kein Moment, daher müssen die Momente um C allein am Teil CD im Gleichgewicht sein.
Die Gelenkkraft VC wirkt auf AC nach unten (gleich groß und entgegengesetzt zu ihrer Wirkung auf CD).
Antwort: MB = −25 kN·m
Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.
Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.
Auf den Kragarm wirkt nur P2 mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).
Antwort: E (x = 8 m)
Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.
Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.
Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.
Antwort: FAB = −18,63 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.
Antwort: FAC = −8,333 kN
Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.
Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.
Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.
Antwort: δP = 18,7 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: δmax = 7,127 mm
Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).
Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwort: Pcr = 514 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.
Antwort: d = 25,35 mm
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 157,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.
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