Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P = 25 kNM = 40 kN·mABRA​ = ?2 m1 m1 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 2 m von A und ein eingeprägtes Moment M (im Uhrzeigersinn) im Abstand 3 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.

L = 4 mP = 25 kN bei 2 mM = 40 kN·m (im Uhrzeigersinn) bei 3 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 10 kN/mP = 40 kNABCRA​ = ?2 m2 m0,5 m1,5 m

Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 4,5 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 2 m von A und eine Gleichstreckenlast w von 4 m bis zum freien Ende bei 6 m. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 40 kN bei 2 mw = 10 kN/m von 4 bis 6 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
8 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 6 m8 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
4 kN/m55 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 0 m35 kN @ 12 m4 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB15 kN8 m1 m4 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 8 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 15 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB60 kN25 kN5 m1 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 60 kNhorizontale Last = 25 kN →
FAC = kN
7.DurchbiegungMittel
P = 6 kNABδ2 m1 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m von A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 6 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.DurchbiegungSchwer
P = 19 kNABδ5,5 m2,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 2,5 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax des Balkens.

P = 19 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 3 m25 × 50 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 145 kNL = 6 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 145 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 145 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 2,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Momente um A

Gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: RB·4 − 25·2 − 40 = 0
RB = 90/4 = 22,5 kN

Vertikales Gleichgewicht

RA = 25 − 22,5 = 2,5 kN

Antwort

RA = 2,5 kN

Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 20 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Streckenlast

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 40·2 + 20·5
RB = 180/4,5 = 40 kN
RA = 60 − 40 = 20 kN

Antwort

RA = 20 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 33,83 kN, R2 = 55,17 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 67,67, MC = 135,3, MD = 187 kN·m, ME = 156,7, MF = 94,33, MG = 0

Antwort

Markierung D: MD = 187 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 62 kN, R2 = 52 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −110, MC = −104, MD = −114, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −140 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 3,281 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·1 → Cy = 1,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 1,875 = 13,13 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,875/0,4961 = −3,779 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3,779)·0,8682 = 3,281 kN

Antwort

FAC = 3,281 kN (Zug)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 44 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 + 25·2 → Cy = 22 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 22 = 38 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22/0,4472 = −49,19 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−49,19)·0,8944 = 44 kN

Antwort

FAC = 44 kN (Zug)
7.Durchbiegung

Antwort: δP = 40,4 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa³/(3EI) = 6000·2000³/(3·3,96 × 10¹¹) = 40,4 mm

Antwort

δP = 40,4 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 19,9 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Maximale Durchbiegung

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 19,9 mm

Antwort

δmax = 19,9 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 29,14 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2100² = 29141 N = 29,14 kN

Antwort

Pcr = 29,14 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 103,7 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 103,7 mm

Antwort

d = 103,7 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 115,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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