Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P = 70 kNM = 15 kN·mABRB​ = ?1 m1 m6 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 1 m von A und ein eingeprägtes Moment M (gegen den Uhrzeigersinn) im Abstand 2 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB, nach oben positiv.

L = 8 mP = 70 kN bei 1 mM = 15 kN·m (gegen den Uhrzeigersinn) bei 2 m
RB = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​3,5 m0,5 m2 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 6 mP = 10 kN bei 3,5 mw = 5 kN/m von 4 bis 6 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 2 kN/mABSchnitt1 m5 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 2 kN/m von 0 bis 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
6 kN/m15 kN35 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 0 m35 kN @ 12 m20 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB30 kN6 m5 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 5 m von A entferntvertikale Last = 30 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB55 kN25 kN6 m1 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 55 kNhorizontale Last = 25 kN ←
FBC = kN
7.DurchbiegungMittel
w = 5 kN/mP = 26 kNABδ1,5 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 26 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.DurchbiegungSchwer
P = 21 kNABδ4 m2 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 2 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax des Balkens.

P = 21 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 3 md = 40 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 45 kNL = 2 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 45 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 45 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 6,875 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Momente um A

Gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: RB·8 − 70·1 + 15 = 0
RB = 55/8 = 6,875 kN

Vertikales Gleichgewicht

RA = 70 − 6,875 = 63,13 kN

Antwort

RB = 6,875 kN

Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 5,833 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​RB​3,5 m0,5 m2 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3,5 + 5·2·5
RB = 85/6 = 14,17 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 14,17 = 5,833 kN

Antwort

RA = 5,833 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6Schnitt1 m5 m

Schnitt bei x = 1 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 6·1 − 2·1·0,5 = 5 kN·m

Antwort

Mx = 5 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 21,33 kN, R2 = 84,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −30, MC = −29,33, MD = −52,67, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −140 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 12,5 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·5 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 25 = 5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0,8944 = −27,95 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27,95)·0,4472 = 12,5 kN

Antwort

FAC = 12,5 kN (Zug)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FBC = −2,244 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·1 − 25·2 → Cy = 0,8333 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 0,8333 = 54,17 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −0,8333/0,3714 = −2,244 kN

Antwort

FBC = −2,244 kN (Druck)
7.Durchbiegung

Antwort: δ = 1,013 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(3EI) = 26000·1500³/(3·3,2 × 10¹³) = 0,9141 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,09888 mm

Addieren

δ = 0,9141 + 0,09888 = 1,013 mm

Antwort

δ = 1,013 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 17,67 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Maximale Durchbiegung

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 17,67 mm

Antwort

δmax = 17,67 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 19,69 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19,69 kN

Antwort

Pcr = 19,69 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 34,36 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 34,36 mm

Antwort

d = 34,36 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 116,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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