Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P1​ = 15 kNP2​ = 75 kNABCRA​ = ?0,5 m2 m1,5 m

Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 2,5 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA, nach oben positiv.

AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 15 kN bei 0,5 mP2 = 75 kN bei 4 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​3 m3 m2 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 8 mP = 50 kN bei 3 mw = 3 kN/m von 6 bis 8 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 8 kN/mP = 25 kNAB0,5 m1,5 m

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 0,5 m von A. Bestimme das Biegemoment MA an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 2 mP = 25 kN bei 0,5 mw = 8 kN/m von 0 bis 2 m
MA = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
10 kN/m25 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 0 m60 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABCDEFGH20 kN25 kN25 kN10 kN25 kN4 × 3 m4 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

C: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab FC
  13. 13Stab HC
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABCDEFGH25 kN20 kN20 kN4 × 4 m4 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
7.DurchbiegungMittel
P = 8 kNABδ2 m1 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m von A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 8 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 15 kN/mP = 13 kNδL = 1,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 13 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 5 md = 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 55 kNL = 2 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 55 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 55 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = −33 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Momente um A

Gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 15·0,5 + 75·4
RB = 307,5/2,5 = 123 kN

Vertikales Gleichgewicht

RA = 15 + 75 − 123 = −33 kN

Antwort

RA = −33 kN

RA ist negativ: Das Festlager in A muss den Balken nach unten halten.

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 32 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​3 m3 m2 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, angreifend bei x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 3·2·7
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 24 = 32 kN

Antwort

RA = 32 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: MA = −28,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −25·0,5 = −12,5 kN·m
w: −8·2²/2 = −16 kN·m
MA = −12,5 − 16 = −28,5 kN·m

Antwort

MA = −28,5 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 23,33 kN, R2 = 121,7 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −50, MC = −73,33, MD = −136,7, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −240 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab BF

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten B

AB und BC liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur BF übrig.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 34,69 kN (T), BC: 34,69 kN (T), CD: 44,06 kN (T), DE: 44,06 kN (T), FG: 50,63 kN (C), GH: 50,63 kN (C), AF: 57,81 kN (C), HE: 73,44 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 26,56 kN (T), HC: 10,94 kN (T)

Antwort

Nullstab: BF
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 8,75 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 16,25 kN (T), FG: 28,75 kN (C), GH: 36,25 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 22,98 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 5,303 kN (C), DG: 5,303 kN (T)

Antwort

Nullstab: CG
7.Durchbiegung

Antwort: δP = 16,16 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa³/(3EI) = 8000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 16,16 mm

Antwort

δP = 16,16 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 1,081 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(48EI) = 13000·1500³/(48·1,76 × 10¹²) = 0,5194 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 0,5618 mm

Addieren

δmax = 0,5194 + 0,5618 = 1,081 mm

Antwort

δmax = 1,081 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 200,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Antwort

Pcr = 200,9 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 60,02 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 60,02 mm

Antwort

d = 60,02 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 133,3, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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