Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
w = 10 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?8 m

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 8 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.

L = 8 mP = 30 kN bei 8 mw = 10 kN/m von 0 bis 8 m
MA = kN·m
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 2 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 4 mP = 30 kN bei 1 mw = 2 kN/m von 0 bis 4 m
RB = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 65 kNP2​ = 70 kNAB3 m1 m1 m

Der Einfeldträger trägt zwei Einzellasten. Bestimme das maximale Biegemoment Mmax im Balken.

L = 5 mP1 = 65 kN bei 3 mP2 = 70 kN bei 4 m
Mmax = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
55 kN45 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB20 kN4 m1 m4 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 20 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABCDEFGH30 kN30 kN25 kN4 × 4 m3 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

D: 30 kN ↓F: 30 kN →H: 25 kN ↓
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
7.DurchbiegungMittel
P = 7 kNABδ4 m1 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 4 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 7 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 5 kN/mδL = 3 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Knicken von StützenMittel
PL = 1 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 95 kNL = 4 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 95 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 95 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: MA = 560 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Streckenlast

W = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m

Moment um die Wand

MA = P·a + W·x̄ = 30·8 + 80·4 = 560 kN·m

Antwort

MA = 560 kN·m
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 11,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 2 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m3 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, angreifend bei x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 2·4·2
RB = 46/4 = 11,5 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 11,5 = 26,5 kN

Antwort

RB = 11,5 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mmax = 120 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·3 + 70·4
RB = 475/5 = 95 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 95 = 40 kN

Moment unter jeder Last

Behalte jeweils den Teil links von der Last.

unter P1: M = RA·3 = 40·3 = 120 kN·m
unter P2: M = RB·1 = 95·1 = 95 kN·m

Größter Wert

Mmax = 120 kN·m (unter P1)

Antwort

Mmax = 120 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 53,33 kN, R2 = 61,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −55, MC = −56,67, MD = −73,33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −90 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 3,75 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,8 = −6,25 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,25)·0,6 = 3,75 kN

Antwort

FAC = 3,75 kN (Zug)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 40,83 kN (T), BC: 51,67 kN (T), CD: 51,67 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 40,83 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 13,54 kN (C), HE: 78,12 kN (C), BF: 8,125 kN (T), CG: 0, DH: 21,88 kN (T), BG: 13,54 kN (C), DG: 13,54 kN (T)

Antwort

Nullstab: CG
7.Durchbiegung

Antwort: δP = 1,623 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·4000²·1000²/(3·4,6 × 10¹²·5000) = 1,623 mm

Antwort

δP = 1,623 mm
8.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,164 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 3,164 × 10⁶ mm⁴
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 160,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/700² = 160173 N = 160,2 kN

Antwort

Pcr = 160,2 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 68,8 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 68,8 mm

Antwort

d = 68,8 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 116,3, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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