Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 4 mP₁ = 30 kN bei 1 mP₂ = 25 kN bei 2,5 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 6 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 5 m von A und eine Gleichstreckenlast w von 6 m bis zum freien Ende bei 8 m. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A, nach oben positiv.

AB = 6 mAC = 8 mP = 50 kN bei 5 mw = 2 kN/m von 6 bis 8 m

R_A = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 4 m von A ein Moment M₀ = 30 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mM₀ = 30 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 4 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 6 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 60 kN bei 5 mw = 4 kN/m von 0 bis 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 8 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 35 kN

F_AB = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

B: 40 kN ↓F: 35 kN →H: 40 kN ↓

1Stab AB
2Stab BC
3Stab CD
4Stab DE
5Stab FG
6Stab GH
7Stab AF
8Stab HE
9Stab BF
10Stab CG
11Stab DH
12Stab BG
13Stab DG

7.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1,5 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 14 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 70 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 70 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 31,88 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 25·2,5

R_B = 92,5/4 = 23,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 23,13 = 31,88 kN

Antwort

R_A = 31,88 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 7,667 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Streckenlast

W = 2·2 = 4 kN, x̄ = (6 + 8)/2 = 7 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·5 + 4·7

R_B = 278/6 = 46,33 kN

R_A = 54 − 46,33 = 7,667 kN

Antwort

R_A = 7,667 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 18 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/10 = 3 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −3 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt R_A und das eingeprägte Moment.

M_x = R_A·a + M₀ = −3·4 + 30 = 18 kN·m

Antwort

M_x = 18 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 168 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·5 + 4·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Schnitt bei x = 6 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 50·6 − 60·(6 − 5) − 4·6·3 = 168 kN·m

Antwort

M_x = 168 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AB = −34,24 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·1 → C_y = 4,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 4,375 = 30,63 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30,63/0,8944 = −34,24 kN

Antwort

F_AB = −34,24 kN (Druck)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 66,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 66,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 12,37 kN (T), DG: 12,37 kN (C)

Antwort

Nullstab: CG

7.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 6,028 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1500²·6500²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 6,028 mm

Antwort

δ_P = 6,028 mm

8.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,61 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,61 mm

Antwort

δ_max = 2,61 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,606 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4,606 kN

Antwort

P_cr = 4,606 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 66,46 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,46 mm

Antwort

d = 66,46 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 180,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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