Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger (Festlager in A, Loslager in B) trägt eine linear veränderliche Last, die von 15 kN/m in A auf null in B abfällt. Außerdem greift eine Einzellast P im Abstand 0,5 m von A an. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_B.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 60 kN bei 0,5 m

R_B = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine linear veränderliche Last, die an der Wand null ist und bis zum freien Ende B auf 6 kN/m ansteigt, sowie eine Einzellast P im Abstand 4 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments M_A an der Wand.

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 20 kN bei 4 m

M_A = kN·m

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 0,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 6 kN/m von 0 bis 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 7 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 60 kN bei 7 mw = 12 kN/m von 0 bis 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 55 kN

F_AC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

B: 35 kN ↓H: 15 kN ↓H: 15 kN ←

1Stab AB
2Stab BC
3Stab CD
4Stab DE
5Stab FG
6Stab GH
7Stab AF
8Stab HE
9Stab BF
10Stab CG
11Stab DH
12Stab BG
13Stab DG

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 18 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 35 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 35 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_B = 18,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Dreieckslast

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37,5·1,667 + 60·0,5

R_B = 18,5 kN

R_A = 97,5 − 18,5 = 79 kN

Antwort

R_B = 18,5 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: M_A = 112 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft R_A und ein Einspannmoment M_A. ΣF_y = 0 liefert R_A, und die Momente um die Wand liefern M_A = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Dreieckslast

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Moment um die Wand

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2,667 + 20·4 = 112 kN·m

Antwort

M_A = 112 kN·m

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 8,25 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Schnitt bei x = 0,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 18·0,5 − 6·0,5·0,25 = 8,25 kN·m

Antwort

M_x = 8,25 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 252 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·7 + 12·10·5

R_B = 1020/10 = 102 kN

ΣF_y = 0: R_A = 180 − 102 = 78 kN

Schnitt bei x = 7 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 78·7 − 12·7·3,5 = 252 kN·m

Antwort

M_x = 252 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 10,31 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,8 = −17,19 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,19)·0,6 = 10,31 kN

Antwort

F_AC = 10,31 kN (Zug)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 28,75 kN (T), BC: 25,83 kN (T), CD: 25,83 kN (T), DE: 22,92 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 37,92 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 28,65 kN (C), BF: 32,81 kN (T), CG: 0, DH: 2,188 kN (T), BG: 3,646 kN (T), DG: 3,646 kN (C)

Antwort

Nullstab: CG

7.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 38,28 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,569 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01435 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 38,28 mm

Antwort

δ_B = 38,28 mm

8.Durchbiegung

Antwort: I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·70000·13,89) = 3,348 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 71,62 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1050² = 71616 N = 71,62 kN

Antwort

P_cr = 71,62 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 92,19 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,19 mm

Antwort

d = 92,19 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 433,9, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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