Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 5 m von A und ein eingeprägtes Moment M (im Uhrzeigersinn) im Abstand 2 m von A. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A, nach oben positiv.

L = 10 mP = 20 kN bei 5 mM = 30 kN·m (im Uhrzeigersinn) bei 2 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_B.

L = 4 mP = 20 kN bei 1 mw = 5 kN/m von 0 bis 3 m

R_B = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 1 m von A ein Moment M₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar links vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mM₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 1 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

35 kN @ 6 m35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 25 kN

F_AC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 8 mHöhe = 4 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 45 kNhorizontale Last = 25 kN →

F_AB = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 5,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 12 kNa = 5,5 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 15 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 45 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 45 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 7 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Momente um A

Gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 20·5 − 30 = 0

R_B = 130/10 = 13 kN

Vertikales Gleichgewicht

R_A = 20 − 13 = 7 kN

Antwort

R_A = 7 kN

Eine negative Auflagerkraft wirkt nach unten.

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_B = 10,63 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, angreifend bei x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 5·3·1,5

R_B = 42,5/4 = 10,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 10,63 = 24,38 kN

Antwort

R_B = 10,63 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = −7,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/8 = 7,5 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −7,5 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar links vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält nur R_A.

M_x = R_A·a = −7,5·1 = −7,5 kN·m

Antwort

M_x = −7,5 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 5 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 10 kN, R₂ = 80 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 8, M_C = 12, M_D = 12, M_E = 8, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −35 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 5 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,7071 = −7,071 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7,071)·0,7071 = 5 kN

Antwort

F_AC = 5 kN (Zug)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AB = −23,76 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·2 + 25·4 → C_y = 23,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 23,75 = 21,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21,25/0,8944 = −23,76 kN

Antwort

F_AB = −23,76 kN (Druck)

7.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 58,38 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 5500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·5500³/(3·1,14 × 10¹³) = 58,38 mm

Antwort

δ_P = 58,38 mm

8.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 21,87 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 13,46 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 8,411 mm

Addieren

δ_max = 13,46 + 8,411 = 21,87 mm

Antwort

δ_max = 21,87 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 20,56 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2500² = 20562 N = 20,56 kN

Antwort

P_cr = 20,56 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 77,37 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,37 mm

Antwort

d = 77,37 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 155,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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