Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 4 mP1 = 35 kN bei 1 mP2 = 10 kN bei 2 m
RB = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m5 m1 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 8 mP = 50 kN bei 7 mw = 10 kN/m von 1 bis 2 m
RB = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
12 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

20 kN @ 6 m12 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 2 kN/mP = 20 kNABSchnitt2 m2 m1 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 20 kN bei 2 mw = 2 kN/m von 0 bis 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB50 kN4 m3 m4 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 50 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABCDEFGH30 kN30 kN4 × 4 m3 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

D: 30 kN ↓F: 30 kN →
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
7.DurchbiegungMittel
P = 11 kNABδ0,5 m3,5 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 0,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δB am freien Ende B.

P = 11 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.DurchbiegungSchwer
P = 5 kNABδ5 m1 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax des Balkens.

P = 5 kNb = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 5 md = 50 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
PL = 4 md = 25 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 25 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 13,75 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 10·2
RB = 55/4 = 13,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 13,75 = 31,25 kN

Antwort

RB = 13,75 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 45,63 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m1 m5 m1 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, angreifend bei x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·7 + 10·1·1,5
RB = 365/8 = 45,63 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45,63 = 14,38 kN

Antwort

RB = 45,63 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 34 kN, R2 = 34 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 68, MC = 136, MD = 180 kN·m, ME = 136, MF = 68, MG = 0

Antwort

Markierung D: MD = 180 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 12 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2 + 2·5·2,5
RB = 65/5 = 13 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 13 = 17 kN
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = 17RB​ = 13Schnitt2 m2 m1 m

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 17·4 − 20·(4 − 2) − 2·4·2 = 12 kN·m

Antwort

Mx = 12 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 9,375 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37,5/0,9701 = −38,65 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−38,65)·0,2425 = 9,375 kN

Antwort

FAC = 9,375 kN (Zug)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 32,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 3,125 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 1,875 kN (T), CG: 0, DH: 28,13 kN (T), BG: 3,125 kN (C), DG: 3,125 kN (T)

Antwort

Nullstab: CG
7.Durchbiegung

Antwort: δB = 1,146 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δP = Pa³/(3EI) = 0,09964 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0002989 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,146 mm

Antwort

δB = 1,146 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 2,406 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Maximale Durchbiegung

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2,406 mm

Antwort

δmax = 2,406 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 2,12 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

Antwort

Pcr = 2,12 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 9,835 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/6,25 = 448

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Antwort

σcr = 9,835 MPa

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