Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m3 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 8 mP1 = 40 kN bei 1 mP2 = 30 kN bei 5 m
RB = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m3 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.

L = 8 mP = 35 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 3 bis 5 m
RB = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 2 kN/mABSchnitt5 m1 m

Bestimme die Querkraft Vx im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 2 kN/m von 0 bis 6 mx = 5 m
Vx = kN
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
10 kN/m55 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 6 m60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB40 kN6 m1 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 40 kN
FAC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB50 kN10 kN5 m3 m4 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 4 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 50 kNhorizontale Last = 10 kN →
FAC = kN
7.DurchbiegungMittel
P = 15 kNABδ1,5 m1 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 15 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 15 kN/mP = 13 kNδL = 2,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 13 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 5 m25 × 40 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 120 kNL = 2,5 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 120 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 120 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 23,75 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m4 m3 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 30·5
RB = 190/8 = 23,75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 23,75 = 46,25 kN

Antwort

RB = 23,75 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RB = 25,13 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​RB​3 m2 m3 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·3 + 12·2·4
RB = 201/8 = 25,13 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 25,13 = 33,88 kN

Antwort

RB = 25,13 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Vx = −4 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6Schnitt5 m1 m

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = RA − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)
Vx = 6 − 2·5 = −4 kN

Antwort

Vx = −4 kN
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 22,5 kN, R2 = 132,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 17,5, MC = 25, MD = −37,5, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −110 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 16,67 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 6,667 = 33,33 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,667/0,3714 = −17,95 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−17,95)·0,9285 = 16,67 kN

Antwort

FAC = 16,67 kN (Zug)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 19 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB50 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 + 10·4 → Cy = 38 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 38 = 12 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −38/0,8944 = −42,49 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,49)·0,4472 = 19 kN

Antwort

FAC = 19 kN (Zug)
7.Durchbiegung

Antwort: δP = 4,229 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa³/(3EI) = 15000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 4,229 mm

Antwort

δP = 4,229 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 2,579 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(48EI) = 13000·2500³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,92 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,659 mm

Addieren

δmax = 0,92 + 1,659 = 2,579 mm

Antwort

δmax = 2,579 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 4,112 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/5000² = 4112 N = 4,112 kN

Antwort

Pcr = 4,112 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 62,73 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Antwort

d = 62,73 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 159,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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