Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 8 mP₁ = 40 kN bei 1 mP₂ = 10 kN bei 2 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Balken hat in A ein Festlager und in B, 4,5 m von A entfernt, ein Loslager und kragt über B bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 0,5 m von A und eine Gleichstreckenlast w von 3 m bis zum freien Ende bei 6 m. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A, nach oben positiv.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 75 kN bei 0,5 mw = 5 kN/m von 3 bis 6 m

R_A = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 3 kN/m von 0 bis 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 8 mP = 75 kN bei 4 mw = 4 kN/m von 0 bis 8 m

M_max = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_BC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 3 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 50 kN

F_BC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 3 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 15 kNhorizontale Last = 30 kN →

F_AC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 85 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 85 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 42,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 10·2

R_B = 60/8 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 7,5 = 42,5 kN

Antwort

R_A = 42,5 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 66,67 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Resultierende der Streckenlast

W = 5·3 = 15 kN, x̄ = (3 + 6)/2 = 4,5 m

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 75·0,5 + 15·4,5

R_B = 105/4,5 = 23,33 kN

R_A = 90 − 23,33 = 66,67 kN

Antwort

R_A = 66,67 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 22,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 12·5 − 3·5·2,5 = 22,5 kN·m

Antwort

M_x = 22,5 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 182 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·4 + 4·8·4

R_B = 428/8 = 53,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 107 − 53,5 = 53,5 kN

Wo ist V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 37,5 kN

V(4⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 53,5·4 − 4·4²/2 = 182 kN·m

Antwort

M_max = 182 kN·m

Es tritt bei x = 4 m von A auf.

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_BC = −39,53 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

Antwort

F_BC = −39,53 kN (Druck)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 24 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 30·3 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 24 = −9 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,7071 = −33,94 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33,94)·0,7071 = 24 kN

Antwort

F_AC = 24 kN (Zug)

7.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,003699 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 10·2500³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,003699 rad

Antwort

θ_A = 0,003699 rad

Das sind 0,2119°.

8.Durchbiegung

Antwort: I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·11000·22,22) = 4,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 9,87 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/8000² = 9870 N = 9,87 kN

Antwort

P_cr = 9,87 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 83,72 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 83,72 mm

Antwort

d = 83,72 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 133,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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