Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine Gleichstreckenlast w von der Wand bis 3 m und eine Einzellast P im Abstand 2 m von der Wand. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA an der Wand.

L = 4 mP = 60 kN bei 2 mw = 3 kN/m von 0 bis 3 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
P = 10 kN, 40°Q = 15 kNABRA​ = ?4 m3 m3 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 7 m von A entfernt an, unter 40° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 4 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.

L = 10 mP = 10 kN bei 7 m, θ = 40°Q = 15 kN bei 4 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 75 kNP2​ = 40 kNABC3,5 m1,5 m2 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 7 mP1 = 75 kN bei 3,5 mP2 = 40 kN bei 7 mAuflager bei x = 0 und x = 5 m
Mx = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
12 kN/m40 kN30 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 0 m30 kN @ 12 m30 kN @ 4 m12 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABCDEFGH40 kN10 kN10 kN35 kN4 × 4 m3 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

B: 40 kN ↓D: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB10 kN15 kN5 m4 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 2 mB liegt 4 m von A entferntvertikale Last = 10 kNhorizontale Last = 15 kN →
FAC = kN
7.DurchbiegungMittel
w = 10 kN/mδL = 2,5 m

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax in Feldmitte.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 4 kN/mP = 4 kNδL = 4 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 4 md = 80 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 5 kNL = 2 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 5 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 69 kN

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Streckenlast

W = 3·3 = 9 kN, x̄ = 1,5 m

Vertikales Gleichgewicht

RA = P + W = 60 + 9 = 69 kN

Antwort

RA = 69 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 13,35 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Komponenten von P

Pv = 10·sin 40° = 6,428 kN
Ph = 10·cos 40° = 7,66 kN

Auflagerkräfte

ΣMA = 0: RB·10 = 6,428·7 + 15·4 → RB = 10,5 kN
Ay = 6,428 + 15 − 10,5 = 10,93 kN
Ax = Ph = 7,66 kN

Resultierende in A

RA = √(7,66² + 10,93²) = 13,35 kN

Antwort

RA = 13,35 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 22,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·5 = 75·3,5 + 40·7
RB = 542,5/5 = 108,5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 108,5 = 6,5 kN

Schnitt unter P1, linken Teil behalten

Mx = RA·3,5 = 6,5·3,5 = 22,75 kN·m

Antwort

Mx = 22,75 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 113 kN, R2 = 83 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = 42, MD = 56, ME = 22, MF = −60, MG = 0

Antwort

Markierung B: MB = −80 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 61,67 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 61,67 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 77,08 kN (C), HE: 81,25 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 10,42 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Antwort

Nullstab: CG
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAC = 7 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·4 + 15·2 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 14 = −4 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −14/0,8944 = −15,65 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15,65)·0,4472 = 7 kN

Antwort

FAC = 7 kN (Zug)
7.Durchbiegung

Antwort: δmax = 2,119 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 2,119 mm

Antwort

δmax = 2,119 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 10,61 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·1,76 × 10¹²) = 3,03 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 7,576 mm

Addieren

δmax = 3,03 + 7,576 = 10,61 mm

Antwort

δmax = 10,61 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 62,01 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Antwort

Pcr = 62,01 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 26,8 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 26,8 mm

Antwort

d = 26,8 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 298,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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