Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
w = 4 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?2 m1 m2 m

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine Gleichstreckenlast w von der Wand bis 2 m und eine Einzellast P im Abstand 3 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.

L = 5 mP = 10 kN bei 3 mw = 4 kN/m von 0 bis 2 m
MA = kN·m
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
P = 70 kN, 50°Q = 50 kNABα = ?1 m2,5 m1,5 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 3,5 m von A entfernt an, unter 50° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 1 m von A entfernt an. Bestimme den Winkel α zwischen der gesamten Auflagerkraft im Festlager A und der Horizontalen.

L = 5 mP = 70 kN bei 3,5 m, θ = 50°Q = 50 kN bei 1 m
α = °
3.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 5 kN/mP = 75 kNABSchnitt1,5 m2,5 m

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 4 m von A. Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 1,5 m von der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 75 kN bei 4 mw = 5 kN/m von 0 bis 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 5 kN/mP = 45 kNABSchnitt2,5 m2,5 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 45 kN bei 2,5 mw = 5 kN/m von 0 bis 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABCDEFGH25 kN35 kN4 × 3 m4 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab FC
  13. 13Stab HC
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABCDEFGH25 kN20 kN4 × 4 m3 m

Genau ein Stab dieses Fachwerks trägt unter diesen Lasten keine Kraft. Welcher ist der Nullstab? Klicke ihn im Diagramm an.

F: 25 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1Stab AB
  2. 2Stab BC
  3. 3Stab CD
  4. 4Stab DE
  5. 5Stab FG
  6. 6Stab GH
  7. 7Stab AF
  8. 8Stab HE
  9. 9Stab BF
  10. 10Stab CG
  11. 11Stab DH
  12. 12Stab BG
  13. 13Stab DG
7.DurchbiegungMittel
w = 6 kN/mP = 5 kNABδ3 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 5 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 2 kN/mδL = 3 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Knicken von StützenMittel
PL = 3 m50 × 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 85 kNL = 5 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 85 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 85 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: MA = 38 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Streckenlast

W = 4·2 = 8 kN, x̄ = 1 m

Moment um die Wand

MA = P·a + W·x̄ = 10·3 + 8·1 = 38 kN·m

Antwort

MA = 38 kN·m
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: α = 51,26 °

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Komponenten von P

Pv = 70·sin 50° = 53,62 kN
Ph = 70·cos 50° = 45 kN

Auflagerkräfte

ΣMA = 0: RB·5 = 53,62·3,5 + 50·1 → RB = 47,54 kN
Ay = 53,62 + 50 − 47,54 = 56,09 kN
Ax = Ph = 45 kN

Richtung in A

α = atan(Ay/Ax) = atan(56,09/45) = 51,26°

Antwort

α = 51,26°
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = −203,1 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −75·2,5 = −187,5 kN·m
w: −5·2,5²/2 = −15,63 kN·m
Mx = −187,5 − 15,63 = −203,1 kN·m

Antwort

Mx = −203,1 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 71,88 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2,5 + 5·5·2,5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = 35RB​ = 35Schnitt2,5 m2,5 m

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 35·2,5 − 5·2,5·1,25 = 71,88 kN·m

Antwort

Mx = 71,88 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten G

FG und GH liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 20,63 kN (T), BC: 20,63 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 24,37 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 34,38 kN (C), HE: 40,62 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 3,125 kN (T), HC: 3,125 kN (C)

Antwort

Nullstab: CG
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: Stab CG

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Knoten C

BC und CD liegen auf einer Geraden, und der Knoten trägt keine Last. Das Kräftegleichgewicht quer zu dieser Linie lässt nur CG übrig.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Mit dem Knotenpunktverfahren prüfen

Die Lösung aller Knoten ergibt diese Stabkräfte (T = Zug, C = Druck).

AB: 10 kN (T), BC: 6,667 kN (T), CD: 6,667 kN (T), DE: 3,333 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 23,33 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 4,167 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 4,167 kN (T), DG: 4,167 kN (C)

Antwort

Nullstab: CG
7.Durchbiegung

Antwort: δ = 9,442 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(3EI) = 5000·3000³/(3·1,12 × 10¹³) = 4,018 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 5,424 mm

Addieren

δ = 4,018 + 5,424 = 9,442 mm

Antwort

δ = 9,442 mm
8.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8,333) = 1,266 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 1,266 × 10⁶ mm⁴
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 11,99 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11,99 kN

Antwort

Pcr = 11,99 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 111,9 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 111,9 mm

Antwort

d = 111,9 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 178,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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