Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_A.

L = 4 mP₁ = 25 kN bei 1,5 mP₂ = 35 kN bei 2,5 m

R_A = kN

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_B.

L = 8 mP = 20 kN bei 6 mw = 5 kN/m von 3 bis 6 m

R_B = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 12 kN/m von 0 bis 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 10 kN bei 5 mw = 3 kN/m von 0 bis 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 25 kN

F_AC = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 4 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 50 kNhorizontale Last = 5 kN →

F_AC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 7 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 6 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 70 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 70 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_A = 28,75 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 35·2,5

R_B = 125/4 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 31,25 = 28,75 kN

Antwort

R_A = 28,75 kN

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_B = 23,44 kN

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, angreifend bei x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·6 + 5·3·4,5

R_B = 187,5/8 = 23,44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 23,44 = 11,56 kN

Antwort

R_B = 23,44 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 58,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Schnitt bei x = 1,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 48·1,5 − 12·1,5·0,75 = 58,5 kN·m

Antwort

M_x = 58,5 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 46,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5 + 3·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 20·3 − 3·3·1,5 = 46,5 kN·m

Antwort

M_x = 46,5 kN·m

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 4,688 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9701 = −19,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,33)·0,2425 = 4,688 kN

Antwort

F_AC = 4,688 kN (Zug)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 13,13 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 + 5·4 → C_y = 17,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 17,5 = 32,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17,5/0,8 = −21,88 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−21,88)·0,6 = 13,13 kN

Antwort

F_AC = 13,13 kN (Zug)

7.Durchbiegung

Antwort: δ = 1,034 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·1500³/(3·1,68 × 10¹³) = 0,4688 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,565 mm

Addieren

δ = 0,4688 + 0,565 = 1,034 mm

Antwort

δ = 1,034 mm

8.Durchbiegung

Antwort: R_B = 27 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Antwort

R_B = 27 kN

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 13,82 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/4000² = 13817 N = 13,82 kN

Antwort

P_cr = 13,82 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 54,82 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 54,82 mm

Antwort

d = 54,82 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 182,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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