Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
w = 10 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?5 m3 m

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt eine Gleichstreckenlast w von der Wand bis 5 m und eine Einzellast P im Abstand 5 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.

L = 8 mP = 65 kN bei 5 mw = 10 kN/m von 0 bis 5 m
MA = kN·m
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
P = 80 kNQ = 80 kNADCMA​ = ?3 m3 m3 m1 m

Ein Gerberträger ist in A an der Wand eingespannt, hat ein Gelenk in C (6 m von A) und liegt in D (10 m von A) auf einem Loslager. Er trägt eine Einzellast P im Abstand 9 m von A und eine Einzellast Q im Abstand 3 m von A. Bestimme den Betrag des Einspannmoments MA an der Wand.

AC = 6 mAD = 10 mP = 80 kN bei 9 mQ = 80 kN bei 3 m
MA = kN·m
3.Querkraft und BiegemomentMittel
15 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 8 m20 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
5 kN/m40 kN15 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m55 kN @ 6 m5 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB15 kN8 m7 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 8 mHöhe = 2 mB liegt 7 m von A entferntvertikale Last = 15 kN
FAB = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB60 kN5 kN5 m2 m2 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 2 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 60 kNhorizontale Last = 5 kN →
FBC = kN
7.DurchbiegungMittel
w = 15 kN/mδL = 4 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.DurchbiegungSchwer
P = 24 kNP = 24 kNABδ2 m2 m2 m

Ein Einfeldträger trägt zwei gleiche Einzellasten P in den Drittelspunkten (L/3 von jedem Auflager). Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 24 kNL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 3 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
P = 75 kNL = 5 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 75 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 75 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: MA = 450 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft RA und ein Einspannmoment MA. ΣFy = 0 liefert RA, und die Momente um die Wand liefern MA = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Streckenlast

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m

Moment um die Wand

MA = P·a + W·x̄ = 65·5 + 50·2,5 = 450 kN·m

Antwort

MA = 450 kN·m
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: MA = 360 kN·m

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt. Ein Gelenk im Balken kann kein Biegemoment übertragen, das ergibt eine zusätzliche Gleichung: Das Moment der Kräfte auf jeder Seite um das Gelenk ist null.

Teil CD

Das Gelenk überträgt kein Moment, daher müssen die Momente um C allein am Teil CD im Gleichgewicht sein.

ΣMC = 0: RD·4 = 80·3
RD = 60 kN
VC = 80 − 60 = 20 kN

Teil AC

Die Gelenkkraft VC wirkt auf AC nach unten (gleich groß und entgegengesetzt zu ihrer Wirkung auf CD).

RA = 80 + 20 = 100 kN
MA = 80·3 + 20·6 = 360 kN·m

Antwort

MA = 360 kN·m
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 8,333 kN, R2 = 26,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 16,67, MC = 33,33, MD = 50, ME = 66,67 kN·m, MF = 53,33, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = 66,67 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 76,67 kN, R2 = 63,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −16,67, MD = 26,67, ME = −60, MF = −30, MG = 0

Antwort

Markierung B: MB = −80 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAB = −6,825 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 → Cy = 13,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13,13 = 1,875 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1,875/0,2747 = −6,825 kN

Antwort

FAB = −6,825 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FBC = −46,87 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB60 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 + 5·2 → Cy = 26 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 26 = 34 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26/0,5547 = −46,87 kN

Antwort

FBC = −46,87 kN (Druck)
7.Durchbiegung

Antwort: δ = 20 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 20 mm

Antwort

δ = 20 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 46,12 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Eine Last bei L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 23,06 mm

Beide Lasten addieren

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 46,12 mm

Antwort

δmax = 46,12 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 2,18 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Antwort

Pcr = 2,18 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 65,99 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,99 mm

Antwort

d = 65,99 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 212,2, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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