Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast: Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment: M = F·d

Methode

Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣF_y = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Schnittverfahren: ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft: positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0.
Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel

Der Kragträger ist in A an der Wand eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 3,5 m von der Wand. Bestimme den Betrag des Einspannmoments M_A an der Wand.

L = 6 mP = 75 kN bei 3,5 mw = 6 kN/m von 0 bis 6 m

M_A = kN·m

2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft R_B.

L = 8 mP = 25 kN bei 6 mw = 12 kN/m von 1 bis 4 m

R_B = kN

3.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

35 kN @ 6 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 4 mP = 50 kN bei 3 mw = 4 kN/m von 0 bis 4 m

M_max = kN·m

5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 8 mHöhe = 2 mB liegt 1 m von A entferntvertikale Last = 35 kN

F_AB = kN

6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft F_AC im Stab AC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 6 mHöhe = 3 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 25 kNhorizontale Last = 25 kN →

F_AC = kN

7.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 3,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 10 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 4 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 75 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 75 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: M_A = 370,5 kN·m

Gleichgewicht am Kragarm: Eine Einspannung kann nach oben drücken und auch eine Drehung verhindern, sie liefert also eine vertikale Auflagerkraft R_A und ein Einspannmoment M_A. ΣF_y = 0 liefert R_A, und die Momente um die Wand liefern M_A = Σ(Last × Abstand von der Wand). Eine Streckenlast wirkt als ihre Resultierende im Schwerpunkt der Lastfigur.

Resultierende der Streckenlast

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m

Moment um die Wand

M_A = P·a + W·x̄ = 75·3,5 + 36·3 = 370,5 kN·m

Antwort

M_A = 370,5 kN·m

2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: R_B = 30 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 12·3·2,5

R_B = 240/8 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 30 = 31 kN

Antwort

R_B = 30 kN

3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 41,5 kN, R₂ = 41,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 83, M_C = 154, M_D = 201 kN·m, M_E = 154, M_F = 83, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 201 kN·m

4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 43,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·3 + 4·4·2

R_B = 182/4 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,5 = 20,5 kN

Wo ist V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 8,5 kN

V(3⁺) = 8,5 − 50 = −41,5 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 20,5·3 − 4·3²/2 = 43,5 kN·m

Antwort

M_max = 43,5 kN·m

Es tritt bei x = 3 m von A auf.

5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AB = −34,24 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·1 → C_y = 4,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 4,375 = 30,63 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30,63/0,8944 = −34,24 kN

Antwort

F_AB = −34,24 kN (Druck)

6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: F_AC = 27,78 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 + 25·3 → C_y = 20,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20,83 = 4,167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20,83/0,6 = −34,72 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34,72)·0,8 = 27,78 kN

Antwort

F_AC = 27,78 kN (Zug)

7.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 39,93 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 24,31 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01042 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 39,93 mm

Antwort

δ_B = 39,93 mm

8.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,388 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,8087 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,58 mm

Addieren

δ_max = 0,8087 + 1,58 = 2,388 mm

Antwort

δ_max = 2,388 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 2,591 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/6000² = 2591 N = 2,591 kN

Antwort

P_cr = 2,591 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 36,14 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 36,14 mm

Antwort

d = 36,14 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 116,2, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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