Baustatik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Auflagerkräfte am Balken

Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d

Methode

  1. Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
  2. Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
  3. Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
  4. Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Knotenpunktverfahren
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Schnittverfahren
ΣM = 0 about a cut point
Stabkraft
positiv = Zug, negativ = Druck

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen für das ganze Fachwerk.
  2. Knotenpunktverfahren: Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften und verwende ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
  3. Ritterschnittverfahren: Schneide durch den gesuchten Stab und bilde die Momente um den Punkt, in dem sich die anderen unbekannten Stäbe schneiden.
  4. Nimm Zug an; ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Auflagerkräfte am BalkenMittel
P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​5 m4 m1 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.

L = 10 mP1 = 35 kN bei 5 mP2 = 30 kN bei 9 m
RA = kN
2.Auflagerkräfte am BalkenSchwer
P = 55 kN, 40°Q = 30 kNABRA​ = ?1 m2 m1 m

Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 1 m von A entfernt an, unter 40° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 3 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.

L = 4 mP = 55 kN bei 1 m, θ = 40°Q = 30 kN bei 3 m
RA = kN
3.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 70 kNP2​ = 40 kNABC1,5 m2,5 m1 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP1 = 70 kN bei 1,5 mP2 = 40 kN bei 5 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m
Mx = kN·m
4.Querkraft und BiegemomentSchwer
20 kN15 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

20 kN @ 0 m15 kN @ 12 m20 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenMittel
ABBCACACB35 kN4 m3 m3 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FBC im Stab BC. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 4 mHöhe = 3 mB liegt 3 m von A entferntvertikale Last = 35 kN
FBC = kN
6.Fachwerk: KnotenpunktverfahrenSchwer
ABBCACACB50 kN5 kN5 m2 m4 m

Bestimme mit dem Knotenpunktverfahren die Kraft FAB im Stab AB. Gib Zug positiv und Druck negativ an.

Spannweite = 5 mHöhe = 4 mB liegt 2 m von A entferntvertikale Last = 50 kNhorizontale Last = 5 kN ←
FAB = kN
7.DurchbiegungMittel
P = 10 kNABδ1 m3 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 10 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.DurchbiegungSchwer
w = 10 kN/mP = 20 kNδL = 3 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 20 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Knicken von StützenMittel
PL = 2 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
PL = 1 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 20,5 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​5 m4 m1 m

Freikörperbild

Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.

Gleichgewicht

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.

ΣMA = 0: RB·10 = 35·5 + 30·9
RB = 445/10 = 44,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 44,5 = 20,5 kN

Antwort

RA = 20,5 kN
2.Auflagerkräfte am Balken

Antwort: RA = 54,15 kN

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.

Komponenten von P

Pv = 55·sin 40° = 35,35 kN
Ph = 55·cos 40° = 42,13 kN

Auflagerkräfte

ΣMA = 0: RB·4 = 35,35·1 + 30·3 → RB = 31,34 kN
Ay = 35,35 + 30 − 31,34 = 34,01 kN
Ax = Ph = 42,13 kN

Resultierende in A

RA = √(42,13² + 34,01²) = 54,15 kN

Antwort

RA = 54,15 kN
3.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 50,63 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1,5 + 40·5
RB = 305/4 = 76,25 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 76,25 = 33,75 kN

Schnitt unter P1, linken Teil behalten

Mx = RA·1,5 = 33,75·1,5 = 50,63 kN·m

Antwort

Mx = 50,63 kN·m
4.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 23,33 kN, R2 = 31,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −40, MC = −33,33, MD = −26,67, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −60 kN·m
5.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FBC = −27,67 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Knoten C

Das Loslager gibt nur eine vertikale Kraft, daher hat Knoten C nur zwei unbekannte Stabkräfte. Nimm beide als Zug an.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26,25/0,9487 = −27,67 kN

Antwort

FBC = −27,67 kN (Druck)
6.Fachwerk: Knotenpunktverfahren

Antwort: FAB = −38,01 kN

Knotenpunktverfahren: Jeder Knoten eines Fachwerks ist im Gleichgewicht, also gilt an jedem Knoten ΣFx = 0 und ΣFy = 0. Beginne an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht ist.

ABBCACACB50 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Fachwerks. Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 − 5·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16 = 34 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Knoten A

Nimm an, dass jeder Stab auf Zug beansprucht ist (er zieht vom Knoten weg). Nur AB hat in A eine vertikale Komponente.

sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −34/0,8944 = −38,01 kN

Antwort

FAB = −38,01 kN (Druck)
7.Durchbiegung

Antwort: δP = 56,82 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1000²·3000²/(3·1,32 × 10¹¹·4000) = 56,82 mm

Antwort

δP = 56,82 mm
8.Durchbiegung

Antwort: δmax = 1,912 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(48EI) = 20000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 0,9868 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 0,9252 mm

Addieren

δmax = 0,9868 + 0,9252 = 1,912 mm

Antwort

δmax = 1,912 mm
9.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 14,02 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Antwort

Pcr = 14,02 kN
10.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 111 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Antwort

σcr = 111 MPa

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