Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 90 g Ar bei 500 kPa und 50 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 90 gM = 39,95 g/molP = 500 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von He bei 1000 kPa und 180 °C als ideales Gas.

M = 4,003 g/molP = 1000 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 10 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 300 °C und einem kalten Reservoir mit 25 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad η_max.

T_H = 300 °CT_L = 25 °C

η_max = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 100 kW Wärme aus einer Quelle mit 1000 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 25 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -20 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 25 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 1000 °CT₀ = 25 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 100 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 18r_c = 2,2T₁ = 295 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kη_c = 88%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 12,11 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 90/39,95 = 2,253 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Volumen

V = nRT/P = 2,253·8,314·323,1/500 = 12,11 L

Antwort

V = 12,11 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 1,063 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Dichte

ρ = 1000·4,003/(8,314·453,1) = 1,063 kg/m³

Antwort

ρ = 1,063 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 40,14 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,1·(150 − 90) = 252 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 252/(2·4,18) = 40,14 °C

Antwort

t_out = 40,14 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,188 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2,5·2,44·(150 − 90) = 366 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·366 = 347,7 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 347,7/(4,18·70) = 1,188 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,188 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_max = 47,98 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/573,1 = 47,98 %

Antwort

η_max = 47,98 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 430,8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 1000 + 273,15 = 1273 K

T₀ = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 298,1/1273 = 0,7658

Ẇ = 0,7658·100 = 76,58 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 253,1/(298,1 − 253,1) = 5,626

Q̇_L = 5,626·76,58 = 430,8 kW

Antwort

Q̇_L = 430,8 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1131 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 295·18^0,4 = 937,4 K

T₃ = 2,2·937,4 = 2062 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2062 − 937,4) = 1131 kJ/kg

Antwort

q_in = 1131 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 298,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 288·15^0,2857 = 624,3 K

T_4s = 1400/15^0,2857 = 645,8 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(624,3 − 288)/0,88 = 384,1 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1400 − 645,8) = 682,2 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 682,2 − 384,1 = 298,1 kJ/kg

Antwort

w_net = 298,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 56,31%.

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