Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
250 g N₂V = 50 LT = 70 °CP = ?

Ein Behälter mit 50 L enthält 250 g N₂ bei 70 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 250 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge CH₄ geht von 400 kPa, 2 L, 25 °C über zu 750 kPa und 160 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 400 kPaV1 = 2 LT1 = 25 °CP2 = 750 kPaT2 = 160 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C80 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 140 °C70 °CWasser · 10 °C70 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 10 → 70 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 475 °CTL​ = ?EQH​ = 2600 kJQL​ = 1019 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 2600 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 475 °C auf und gibt 1019 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 475 °CQH = 2600 kJQL = 1019 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
900 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 900 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 35 °C ab. Beide Maschinen haben denselben thermischen Wirkungsgrad. Bestimme Tm in °C.

TH = 900 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 22rc = 1,5T1 = 290 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 6T1 = 300 KT3 = 1500 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 509,3 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 250/28,01 = 8,925 mol
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Druck

P = nRT/V = 8,925·8,314·343,1/0,05 = 509,3 kPa

Antwort

P = 509,3 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 1,55 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 298,1 K, T2 = 433,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(400/750)·(433,1/298,1) = 1,55 L

Antwort

V2 = 1,55 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 55,93 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·3,6·(160 − 80) = 576 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 576/(3·4,18) = 55,93 °C

Antwort

tout = 55,93 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,5789 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 1·2,44·(140 − 70) = 170,8 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·170,8 = 145,2 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 145,2/(4,18·60) = 0,5789 kg/s

Antwort

ṁc = 0,5789 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = 20,07 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 475 + 273,15 = 748,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 748,1·1019/2600 = 293,2 K = 20,07 °C

Antwort

TL = 20,07 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 328,1 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 900 + 273,15 = 1173 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Gleiche Wirkungsgrade

Aus 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm folgt Tm² = TH·TL.

Tm = √(1173·308,1) = 601,3 K = 328,1 °C

Antwort

Tm = 328,1 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1498 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 290·220,4 = 998,5 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,5·998,5 = 1498 K

Antwort

T3 = 1498 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 402,4 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 300·60,2857 = 500,6 K
T4 = 1500/60,2857 = 899 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(500,6 − 300) = 201,6 kJ/kg
wt = 1,005·(1500 − 899) = 604 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 604 − 201,6 = 402,4 kJ/kg

Antwort

wnet = 402,4 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 33,37%.

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