Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
430 g CO₂V = 30 LT = 10 °CP = ?

Ein Behälter mit 30 L enthält 430 g CO₂ bei 10 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 430 gM = 44,01 g/molV = 30 LT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge He geht von 350 kPa, 20 L, 30 °C über zu 700 kPa und 250 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 350 kPaV1 = 20 LT1 = 30 °CP2 = 700 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 150 °C110 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 130 °C100 °CWasser · 10 °C65 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Ct: 10 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 350 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 22%

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 350 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 15 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 22 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad ηII, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

TH = 350 °CTL = 15 °Cη = 22%
ηII = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 25 °CTL​ = 5 °CRQ̇H​Q̇L​ = 3,5 kWẆ

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf 5 °C in einer Küche mit 25 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 3,5 kW. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COPmax.

TH = 25 °CTL = 5 °CQ̇L = 3,5 kW
COPmax =
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 18rc = 1,8T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 14T1 = 288 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 766,7 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 430/44,01 = 9,771 mol
T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Druck

P = nRT/V = 9,771·8,314·283,1/0,03 = 766,7 kPa

Antwort

P = 766,7 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 17,26 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 303,1 K, T2 = 523,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(350/700)·(523,1/303,1) = 17,26 L

Antwort

V2 = 17,26 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 15,84 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·2,44·(150 − 110) = 48,8 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 48,8/(2·4,18) = 15,84 °C

Antwort

tout = 15,84 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,2231 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·3,6·(130 − 100) = 54 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·54 = 51,3 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 51,3/(4,18·55) = 0,2231 kg/s

Antwort

ṁc = 0,2231 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηII = 40,92 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 350 + 273,15 = 623,1 K
TL = 15 + 273,15 = 288,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηCarnot = 1 − 288,1/623,1 = 53,76 %

Exergetischer Wirkungsgrad

ηII = η/ηCarnot = 22/53,76 = 40,92 %

Antwort

ηII = 40,92 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COPmax = 13,91

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 25 + 273,15 = 298,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 278,1/(298,1 − 278,1) = 13,91

Antwort

COPmax = 13,91
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1830 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 320·180,4 = 1017 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·1017 = 1830 K

Antwort

T3 = 1830 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 366,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 288·140,2857 = 612,1 K
T4 = 1300/140,2857 = 611,6 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(612,1 − 288) = 325,8 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 611,6) = 691,8 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 691,8 − 325,8 = 366,1 kJ/kg

Antwort

wnet = 366,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 47,09%.

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