Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 200 g N₂ bei 150 kPa und 30 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 200 gM = 28,01 g/molP = 150 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von Ar bei 850 kPa und 40 °C als ideales Gas.

M = 39,95 g/molP = 850 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 120 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 550 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 10 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 36 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 550 °CT_L = 10 °Cη = 36%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 1100 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 20 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme T_m in °C.

T_H = 1100 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 17r_c = 1,5T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 85 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 295 KT₃ = 1100 Kη_c = 82%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 120 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 200/28,01 = 7,14 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Volumen

V = nRT/P = 7,14·8,314·303,1/150 = 120 L

Antwort

V = 120 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 13,04 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Dichte

ρ = 850·39,95/(8,314·313,1) = 13,04 kg/m³

Antwort

ρ = 13,04 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 79,59 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·3,6·(170 − 120) = 540 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 540/(2·4,18) = 79,59 °C

Antwort

t_out = 79,59 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,4522 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 0,5·2,1·(140 − 60) = 84 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·84 = 75,6 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 75,6/(4,18·40) = 0,4522 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,4522 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 54,88 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 283,1/823,1 = 65,6 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 36/65,6 = 54,88 %

Antwort

η_II = 54,88 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 560 °C

Absolute Temperaturen

T_H = 1100 + 273,15 = 1373 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − T_low/T_high), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

T_m = (1373 + 293,1)/2 = 833,2 K = 560 °C

Antwort

T_m = 560 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 483,8 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 310·17^0,4 = 962,8 K

T₃ = 1,5·962,8 = 1444 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(1444 − 962,8) = 483,8 kJ/kg

Antwort

q_in = 483,8 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 116,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 295·10^0,2857 = 569,6 K

T_4s = 1100/10^0,2857 = 569,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(569,6 − 295)/0,82 = 336,5 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1100 − 569,7) = 453 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 453 − 336,5 = 116,5 kJ/kg

Antwort

w_net = 116,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 74,29%.

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