Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 360 g He bei 550 kPa und 60 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 360 gM = 4,003 g/molP = 550 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 300 kPa und 120 °C als ideales Gas.

M = 44,01 g/molP = 300 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 10 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -18 °C, indem sie 1,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 35 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = -18 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 1,5 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 19 kW Wärme an ein Heizsystem mit 45 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 2 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 60 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 45 °CT_L = 2 °Cη_II = 60%Q̇_H = 19 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19r_c = 3k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 452,9 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 360/4,003 = 89,93 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Volumen

V = nRT/P = 89,93·8,314·333,1/550 = 452,9 L

Antwort

V = 452,9 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 4,039 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Dichte

ρ = 300·44,01/(8,314·393,1) = 4,039 kg/m³

Antwort

ρ = 4,039 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 58,71 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·3,6·(120 − 70) = 180 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 180/(1,5·4,18) = 58,71 °C

Antwort

t_out = 58,71 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,9923 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,44·(140 − 80) = 292,8 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·292,8 = 248,9 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 248,9/(4,18·60) = 0,9923 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,9923 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 1,812 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1,5·308,1/255,1 = 1,812 kW

Antwort

Q̇_H = 1,812 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,3116 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 4,28 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 318,1/(318,1 − 275,1) = 7,399

COP = 0,6·7,399 = 4,439

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 19/4,439 = 4,28 kW

Antwort

Ẇ = 4,28 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 59,79 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,306 = 59,79%

Antwort

η = 59,79%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 303,4 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·15^0,2857 = 672 K

T_4s = 1500/15^0,2857 = 691,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(672 − 310)/0,82 = 443,7 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1500 − 691,9) = 747,1 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 747,1 − 443,7 = 303,4 kJ/kg

Antwort

w_net = 303,4 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 59,39%.

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