Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 410 g O₂ bei 500 kPa und 45 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 410 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 500 kPa und 180 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 500 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Ct: 20 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 450 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 15 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 42 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 450 °CT_L = 15 °Cη = 42%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 90 kW Wärme aus einer Quelle mit 500 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 20 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -10 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 20 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 500 °CT₀ = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 90 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 22r_c = 2T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 8. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 67,78 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 410/32 = 12,81 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Volumen

V = nRT/P = 12,81·8,314·318,1/500 = 67,78 L

Antwort

V = 67,78 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 4,247 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Dichte

ρ = 500·32/(8,314·453,1) = 4,247 kg/m³

Antwort

ρ = 4,247 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 30,1 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,1·(120 − 80) = 126 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 126/(1,5·4,18) = 30,1 °C

Antwort

t_out = 30,1 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,7751 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(170 − 110) = 252 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·252 = 226,8 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 226,8/(4,18·70) = 0,7751 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,7751 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 69,82 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 288,1/723,1 = 60,15 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 42/60,15 = 69,82 %

Antwort

η_II = 69,82 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 490,1 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T₀ = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 293,1/773,1 = 0,6208

Ẇ = 0,6208·90 = 55,88 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 263,1/(293,1 − 263,1) = 8,772

Q̇_L = 8,772·55,88 = 490,1 kW

Antwort

Q̇_L = 490,1 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1997 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 290·22^0,4 = 998,5 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2·998,5 = 1997 K

Antwort

T₃ = 1997 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 251,2 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·8^0,2857 = 561,5 K

T_4s = 1300/8^0,2857 = 717,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(561,5 − 310)/0,88 = 287,3 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1300 − 717,7) = 538,4 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 538,4 − 287,3 = 251,2 kJ/kg

Antwort

w_net = 251,2 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 53,35%.

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